Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti a exponenciální funkce
Úloha číslo: 1216
Vypočtěte limitu:
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}
n^2\left(\sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x}\right),\quad \mathrm{kde}~x > 0\mathrm{.}
\]
Rozbor
Jedná se o limitu, ve které se vyskytují exponenciální funkce. Je třeba si uvědomit a při výpočtu držet v paměti, že v tomto případě je x pouze parametr a nikoli proměnnou, tou je n.
Jedna ze základních limit pro exponenciálu
Ve výpočtu budeme potřebovat limitu \[ \lim_{x\to0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a,\quad a>0,~a\ne 1. \]
Ověřme. Limitu upravíme užitím \(a^b = e^{b\cdot\ln a}\)
\[ \lim_{x\to0} \frac{a^x - 1}{x} = \lim_{x\to0} \frac{e^{x\ln a} - 1}{x}. \] Vhodně rozšíříme, aby limita vedla ke známé limitě \(\lim_{x\to0} \frac{e^x - 1}{x}=1\) \[ \lim_{x\to0} \frac{e^{x\ln a} - 1}{x} = \lim_{x\to0} \left(\frac{e^{x\ln a} - 1}{x\ln a}\cdot \ln a\right). \] Zavedeme substituci \(y = x\ln a\). Neboť je splněna podmínka (P), lze aplikovat větu o limitě složené funkce a můžeme psát \[ \lim_{x\to0} \left(\frac{e^{x\ln a} - 1}{x\ln a}\cdot \ln a\right)= \lim_{y\to0} \left(\frac{e^{y} - 1}{y}\cdot \ln a\right). \] Použítím známé limity \(\lim_{x\to0} \frac{e^x - 1}{x}=1\) a věty o aritmetice limit získáme \[ \lim_{y\to0} \left(\frac{e^{y} - 1}{y}\cdot \ln a\right)= 1\cdot \ln a = \ln a\mathrm{.} \]Nápověda 1
Přepište odmocniny do racionálního tvaru. Na druhém místě součtu v závorce se snažte dostat \(-1\), abyste následně mohli vhodným rozšířením úlohu převést na počítání limity
\[\lim_{x\to0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a.\]Nápověda 2
Výraz vhodně rozšiřte, aby bylo možné po substituci užít limitu typu \[ \lim_{x\to0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a,\quad a>0,~a\ne 1. \] Dle věty o limitě složené funkce ukažte, že substituci lze užít a limitu dopočítejte.CELKOVÉ ŘEŠENÍ
Odmocniny převedeme na racionální exponenty \[ \lim\limits_{n\to+\infty} n^2\left(\sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x}\right) = \lim_{n\to \infty} n^2\left(x^\frac{1}{n} - x^\frac{1}{n+1}\right). \] Ze závorky vytkenem člen \(x^\frac{1}{n+1}\) \[ \lim_{n\to \infty} n^2\left(x^\frac{1}{n} - x^\frac{1}{n+1}\right) = \lim_{n\to \infty} n^2 x^\frac{1}{n+1}\left(x^{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}} - 1\right). \] Užitím věty o aritmetice limit a drobnou úpravou dostaneme \[ \lim_{n\to \infty} n^2 x^\frac{1}{n+1}\left(x^{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}} - 1\right) = \lim_{n\to \infty} x^\frac{1}{n+1} \lim_{n\to \infty} n^2 \left(x^{\frac{1}{n(n+1)}} - 1\right). \] Vhodným rozšířením, užitím věty o aritmetice limit a přeskupením dostaneme \[ \lim_{n\to \infty} x^\frac{1}{n+1} \lim_{n\to \infty} n^2 \left(x^{\frac{1}{n(n+1)}} - 1\right)=\] \[= \lim_{n\to \infty} x^\frac{1}{n+1} \lim_{n\to \infty} \frac{ x^{\frac{1}{n(n+1)}} - 1}{\frac{1}{n(n+1)}} \lim_{n\to \infty}\frac{n^2}{n(n+1)} . \] Třetí limitu v součinu vypočítáme a zavedeme substituci \(y = \frac{1}{n(n+1)}\). Je splněna podmínka (P), můžeme tedy psát \[ \lim_{y\to 0} x^y \cdot \lim_{y\to 0}\left( \frac{x^{y} - 1}{y} \right)\cdot 1 . \] Užitím základní limity pro exponeciální funkci (viz první sekce) a dopočítáním získáme výsledek \[ \lim_{y\to 0} x^y \cdot \lim_{y\to 0} \frac{x^{y} - 1}{y} \cdot 1 = 1\cdot \ln x \cdot 1 = \ln x. \]Výsledek
\[ \lim\limits_{n\to+\infty} n^2\left(\sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x}\right) = \ln x,\quad \mathrm{kde}~x > 0\mathrm{.} \]
