Odmocninová substituce II.
Úloha číslo: 1507
Určete pomocí Eulerovy substituce
\[I=\int\frac{\sqrt[3]{x+1}-3}{\sqrt{x+1}}dx\]Motivace
Často se nám při řešení integrálů stává, že jsme nuceni integrovat výrazy obsahující jednu či více odmocnin.
Nejpoužívanější metodou pro vypořádání se z odmocninami při integraci je právě odmocninová nebo Eulerova substituce.
Dalšími užívanými metodami jsou ve speciálních případech například goniometrické substituce (Goniometrické substituce 1.) nebo substituce hyperbolické (Hyperbolická substituce).
V této úloze si předvedeme jednu ze základních odmocninových substitucí.
substituce
Nachází-li se pod odmocninami integrovaného výrazu pouze tytéž polynomi stupně jedna \(P_1(x)=ax+b\), zavádíme substituci
\[t^n={ax+b}\]kde \(n\) je nejmenší společný násobek stupňů substituovaných odmocnin.
Sami uvidíme, že tato substituce vede k následnému odstranění substituovaných odmocnin.
Mějme ovšem na paměti, že integrovaný výraz proměnné \(x\) převádíme na integrovaný výraz proměnné \(t\), stejně jako tomu bylo v případě obyčejných substitucí (Substituce).
Substituce
Vhodně zvolte substituci pro likvidaci odmocnin v integrovaném výrazu.
Integrace
Vhodně zvolenou integrační metodou substituovaný integrál proměnné \(t\) vyřešte.
Řešení
V souladu s motivačním textem úlohy určujeme substituci jako
\[t^n=ax+b\]konkrétně v našem případě se pod oběma odmocninami nachází výraz \(x+1\) a tedy
\[t^6=x+1\]kde \(n=6\), neboť stupeňe substituovaných odmocnin jsou 2, 3 a nejmenší společný násobek těchto čísel je šest.
Abychom od integrálu proměnné \(x\) přešli k integrálu proměnné \(t\) je třeba dále vyjádřit derivaci \(x\) podle proměnné \(t\), což uděláme následovně
\[t^6=x\] \[x=t^6\] \[dx=6t^5dt\]Získané dosadíme do původního výrazu, čímž získáme
\[I=\int\frac{\sqrt[3]{x+1}-3}{\sqrt{x+1}}dx=\int\frac{\sqrt[3]{t^6}-3}{\sqrt{t^6}}6t^5dt=\] \[=\int\frac{t^2-3}{t^3}6t^5dt\] \[=6\int{\bigg( t^4-3t^2 \bigg)}dt\]Substitucí získaný integrál díky linearitě integrálu pak rozepisujeme jako
\[=6\int{t^4}dt-18\int t^2dt=\]V případě obou integrálů se jedná o tabulkový integrál \(\int w^n dw = \frac{w^n+1}{n+1}+c;c \in \mathbb{R}, n \ne 1\).
Řešením integrálů tak dostáváme
\[=6\frac{t^5}{5}-18\frac{t^3}{3}+c=\] \[=\frac{6}{5}t^5-6t^3+c\]Nakonec pak provedeme zpětnou substituci \(t^6=x+1 \rightarrow t=\sqrt[6]{x+1}\)
\[I=\frac{6}{5}\sqrt[6]{(x+1)}^5-6\sqrt{(x+1)}+c=\]což je i výsledným řešením celé úlohy.
Výsledek
\[I=\frac{6}{5}\sqrt[6]{(x+1)}^5-6\sqrt{(x+1)}+c=\]Další úloha v sérii
