Limita posloupnosti - komplexní úloha I
Úloha číslo: 850
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[n]{\sqrt{3^n + 2{\cdot} 2^n}-\sqrt{3^n+2^n}}.\]Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[n]{\sqrt{3^n + 2{\cdot} 2^n}-\sqrt{3^n+2^n}}.\]Rozšířením pod vnější odmocninou dostaneme
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[n]{\left(\sqrt{3^n + 2{\cdot} 2^n}-\sqrt{3^n+2^n}\right) \cdot \frac{\sqrt{3^n + 2{\cdot} 2^n}+\sqrt{3^n+2^n}}{\sqrt{3^n + 2{\cdot} 2^n}+\sqrt{3^n+2^n}}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \sqrt[n]{ \frac{(3^n + 2{\cdot} 2^n)-(3^n+2^n)}{\sqrt{3^n + 2{\cdot} 2^n}+\sqrt{3^n+2^n}}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \sqrt[n]{ \frac{2^n}{\sqrt{3^n + 2{\cdot} 2^n}+\sqrt{3^n+2^n}}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2}{\sqrt[n]{\sqrt{3^n + 2{\cdot} 2^n}+\sqrt{3^n+2^n}}} = \]ve jmenovateli dále vytkneme nejrychleji rostoucí člen z obou odmocnin
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2}{\sqrt[n]{\sqrt{3^n}\sqrt{1 + 2\cdot (2/3)^n}+\sqrt{3^n}\sqrt{1+(2/3)^n}}} = \]a tentýž člen i z obou sčítanců
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2}{\sqrt[n]{\sqrt{3^n}}\sqrt[n]{\sqrt{1 + 2\cdot (2/3)^n}+\sqrt{1+(2/3)^n}}} = \]a protože pořadí odmocnin lze zaměnit, máme
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2}{\sqrt{3}\sqrt[n]{\sqrt{1 + 2\cdot (2/3)^n}+\sqrt{1+(2/3)^n}}} = \] \[ = \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{\sqrt{1 + 2\cdot (2/3)^n}+\sqrt{1+(2/3)^n}}} = \frac{2}{\sqrt{3}},\]neboť pomocí věty o dvou policajtech ukážeme, že limita jmenovatele je rovna jedné.
Uvědomme si nejprve, že podle části (c) úlohy Limita geometrické posloupnosti je
\[\lim \ 1+(2/3)^n = 1+0 = 1, \qquad \lim \ 1+2\cdot (2/3)^n = 1+2{\cdot} 0 = 1.\]Pak také podle části (a) úlohy Limita pod odmocninou I tudíž máme
\[\lim \sqrt{1+(2/3)^n} = \sqrt{1} = 1, \qquad \lim \sqrt{1+2\cdot (2/3)^n} = \sqrt{1} = 1.\]Pro libovolně zvolené kladné číslo ε podle definice limity od nějakého členu počínaje platí, že
\[\sqrt{1+2\cdot (2/3)^n} < 1+\varepsilon, \qquad \sqrt{1+(2/3)^n} < 1+\varepsilon.\]Přitom opravdu můžeme toto ε zvolit libovolně, zvolme jej tedy například rovno jedné. Potom tedy od nějakého členu počínaje platí
\[\sqrt{1+2\cdot (2/3)^n} + \sqrt{1+(2/3)^n} < (1+\varepsilon)+(1+\varepsilon) = 2+2\varepsilon = 4.\]Protože zároveň pro všechna přirozené čísla platí, že
\[\sqrt{1+2\cdot (2/3)^n} + \sqrt{1+(2/3)^n} > 1+1 = 2,\]máme následující nerovnosti
\[2 < \sqrt{1+2\cdot (2/3)^n} + \sqrt{1+(2/3)^n} < 4,\]a tudíž také
\[\sqrt[n]{2} < \sqrt[n]{\sqrt{1+2\cdot (2/3)^n} + \sqrt{1+(2/3)^n}} < \sqrt[n]{4}.\]Podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I ale máme, že
\[\lim\ \sqrt[n]{2} = 1, \qquad \lim\ \sqrt[n]{4}.\]Z toho podle věty o dvou policajtech (viz úlohu Věta o dvou policajtech) vyplývá, že
\[\lim\ \sqrt[n]{\sqrt{1+2\cdot (2/3)^n} + \sqrt{1+(2/3)^n}} = 1.\]
