Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita posloupnosti - komplexní úloha I

Úloha číslo: 850

Určete limitu posloupnosti

\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[n]{\sqrt{3^n + 2{\cdot} 2^n}-\sqrt{3^n+2^n}}.\]
  • Řešení

    Určujeme limitu posloupnosti

    \[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[n]{\sqrt{3^n + 2{\cdot} 2^n}-\sqrt{3^n+2^n}}.\]

    Rozšířením pod vnější odmocninou dostaneme

    \[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[n]{\left(\sqrt{3^n + 2{\cdot} 2^n}-\sqrt{3^n+2^n}\right) \cdot \frac{\sqrt{3^n + 2{\cdot} 2^n}+\sqrt{3^n+2^n}}{\sqrt{3^n + 2{\cdot} 2^n}+\sqrt{3^n+2^n}}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \sqrt[n]{ \frac{(3^n + 2{\cdot} 2^n)-(3^n+2^n)}{\sqrt{3^n + 2{\cdot} 2^n}+\sqrt{3^n+2^n}}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \sqrt[n]{ \frac{2^n}{\sqrt{3^n + 2{\cdot} 2^n}+\sqrt{3^n+2^n}}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2}{\sqrt[n]{\sqrt{3^n + 2{\cdot} 2^n}+\sqrt{3^n+2^n}}} = \]

    ve jmenovateli dále vytkneme nejrychleji rostoucí člen z obou odmocnin

    \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2}{\sqrt[n]{\sqrt{3^n}\sqrt{1 + 2\cdot (2/3)^n}+\sqrt{3^n}\sqrt{1+(2/3)^n}}} = \]

    a tentýž člen i z obou sčítanců

    \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2}{\sqrt[n]{\sqrt{3^n}}\sqrt[n]{\sqrt{1 + 2\cdot (2/3)^n}+\sqrt{1+(2/3)^n}}} = \]

    a protože pořadí odmocnin lze zaměnit, máme

    \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2}{\sqrt{3}\sqrt[n]{\sqrt{1 + 2\cdot (2/3)^n}+\sqrt{1+(2/3)^n}}} = \] \[ = \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{\sqrt{1 + 2\cdot (2/3)^n}+\sqrt{1+(2/3)^n}}} = \frac{2}{\sqrt{3}},\]

    neboť pomocí věty o dvou policajtech ukážeme, že limita jmenovatele je rovna jedné.

    Uvědomme si nejprve, že podle části (c) úlohy Limita geometrické posloupnosti je

    \[\lim \ 1+(2/3)^n = 1+0 = 1, \qquad \lim \ 1+2\cdot (2/3)^n = 1+2{\cdot} 0 = 1.\]

    Pak také podle části (a) úlohy Limita pod odmocninou I tudíž máme

    \[\lim \sqrt{1+(2/3)^n} = \sqrt{1} = 1, \qquad \lim \sqrt{1+2\cdot (2/3)^n} = \sqrt{1} = 1.\]

    Pro libovolně zvolené kladné číslo ε podle definice limity od nějakého členu počínaje platí, že

    \[\sqrt{1+2\cdot (2/3)^n} < 1+\varepsilon, \qquad \sqrt{1+(2/3)^n} < 1+\varepsilon.\]

    Přitom opravdu můžeme toto ε zvolit libovolně, zvolme jej tedy například rovno jedné. Potom tedy od nějakého členu počínaje platí

    \[\sqrt{1+2\cdot (2/3)^n} + \sqrt{1+(2/3)^n} < (1+\varepsilon)+(1+\varepsilon) = 2+2\varepsilon = 4.\]

    Protože zároveň pro všechna přirozené čísla platí, že

    \[\sqrt{1+2\cdot (2/3)^n} + \sqrt{1+(2/3)^n} > 1+1 = 2,\]

    máme následující nerovnosti

    \[2 < \sqrt{1+2\cdot (2/3)^n} + \sqrt{1+(2/3)^n} < 4,\]

    a tudíž také

    \[\sqrt[n]{2} < \sqrt[n]{\sqrt{1+2\cdot (2/3)^n} + \sqrt{1+(2/3)^n}} < \sqrt[n]{4}.\]

    Podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I ale máme, že

    \[\lim\ \sqrt[n]{2} = 1, \qquad \lim\ \sqrt[n]{4}.\]

    Z toho podle věty o dvou policajtech (viz úlohu Věta o dvou policajtech) vyplývá, že

    \[\lim\ \sqrt[n]{\sqrt{1+2\cdot (2/3)^n} + \sqrt{1+(2/3)^n}} = 1.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze