Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti s odmocninou - metoda usměrnění IV
Úloha číslo: 833
(a) Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} n\left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\right).\](b) Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} n\left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2+n-1}\right).\]Komentář: Ačkoliv se výrazy pod pravou odmocninou v části (a) a v části (b) neliší v nejvyšší mocnině (a jinak nejsou odlišné vůbec), přesto je výsledek obou částí jiný. Dokážete vysvětlit, proč zde není platné tvrzení o limitě posloupnosti, námi často používané například u racionálních posloupností, podle kterého o hodnotě limity rozhodují pouze koeficienty u nejvyšších mocnin jednotlivých sčítanců nebo činitelů?
Řešení
(a) Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} n\left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\right).\]Použijeme metodu rozšíření odmocniny.
\[\lim_{\small n\to\infty} n\left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\right) = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} n\left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\right)\cdot\frac{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n+1}}{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n+1}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} n\cdot\frac{(n^2+n+1)-(n^2-n+1)}{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n+1}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2n^2}{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n+1}} = \]Dále vytknutím ze jmenovatele a posléze pomocí vět o aritmetice limit a části (a) úlohy Limita pod odmocninou I dostaneme
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2n^2}{n\left(\sqrt{1+1/n+1/n^2}+\sqrt{1-1/n+1/n^2}\right)} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2n}{\sqrt{1+1/n+1/n^2}+\sqrt{1-1/n+1/n^2}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{+\infty}{\sqrt{1+0+0}+\sqrt{1-0+0}} = \frac{+\infty}{2} = +\infty.\](b) Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} n\left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2+n-1}\right).\]Postupujeme zcela analogicky jako v části (a).
\[\lim_{\small n\to\infty} n\left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2+n-1}\right) = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} n\left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2+n-1}\right)\cdot\frac{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2+n-1}}{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2+n-1}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} n\cdot\frac{(n^2+n+1)-(n^2+n-1)}{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2+n-1}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2+n-1}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2n}{n\left(\sqrt{1+1/n+1/n^2}+\sqrt{1+1/n-1/n^2}\right)} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2}{\sqrt{1+1/n+1/n^2}+\sqrt{1+1/n-1/n^2}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{2}{\sqrt{1+0+0}+\sqrt{1+0-0}} = \frac{2}{2} = 1.\]
