Základní limity cyklometrických funkcí
Úloha číslo: 1186
Nechť následující funkce jsou definovány jako funkce inverzní:
\(\arcsin\) jako inverzní funkce k funkci \(\sin\) uvažované na intervalu \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)
\(\arccos\) jako inverzní funkce k funkci \(\cos\) uvažované na intervalu \(\left[0,\pi\right]\)
\(\arctan\) jako inverzní funkce k funkci \(\tan\) uvažované na intervalu \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)
\(\textrm{arccotg}\) jako inverzní funkce k funkci \(\cot\) uvažované na intervalu \(\left[0,\pi\right]\)
Dokažte, že potom platí (červeně vyznačené limity jsou v úlohách používanější častěji, poslední v každé sekci jsou vlastně definiční limity derivace příslušné funkce v obecném bodě):
(a)
\[\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1.\] \[\lim_{x\to 1-} \frac{\arcsin x-\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-x}} = -\sqrt{2}.\] \[\lim_{x\to -1+} \frac{\arcsin x+\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+x}} = \sqrt{2}.\] \[\lim_{x\to a} \frac{\arcsin x-\arcsin a}{x-a} = \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}, \qquad a\in(-1{,}1)\](b)
\[\lim_{x\to 1-} \frac{\arccos x}{\sqrt{1-x}} = \sqrt{2}.\] \[\lim_{x\to -1+} \frac{\arccos x-\pi}{\sqrt{1+x}} = -\sqrt{2}.\] \[\lim_{x\to 0} \frac{\arccos x-\frac{\pi}{2}}{x} = -1.\] \[\lim_{x\to a} \frac{\arccos x-\arccos a}{x-a} = -\frac{1}{\sqrt{1-a^2}},\qquad a\in(-1{,}1)\](c)
\[\lim_{x\to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1.\] \[\lim_{x\to 1} \frac{\arctan x-\frac{\pi}{4}}{x-1} = \frac{1}{2}.\] \[\lim_{x\to \pm\infty} \arctan x = \pm \frac{\pi}{2}.\] \[\lim_{x\to +\infty} x\cdot\left(\arctan x-\frac{\pi}{2}\right) = -1.\] \[\lim_{x\to -\infty} x\cdot\left(\arctan x+\frac{\pi}{2}\right) = -1.\] \[\lim_{x\to a} \frac{\arctan x-\arctan a}{x-a} = \frac{1}{1+a^2}, \qquad a\in \mathbb R\](d)
\[\lim_{x\to +\infty} \textrm{arccotg}\,x = 0.\] \[\lim_{x\to -\infty} \textrm{arccotg}\,x = \pi.\] \[\lim_{x\to +\infty} x\cdot\textrm{arccotg}\,x = 1.\] \[\lim_{x\to -\infty} x\cdot\left(\textrm{arccotg}\,x-\pi\right) = 1.\] \[\lim_{x\to 0} \frac{\textrm{arccotg}\,x-\frac{\pi}{2}}{x} = -1.\] \[\lim_{x\to a} \frac{\textrm{arccotg}\,x-\textrm{arccotg}\,a}{x-a} = -\frac{1}{1+a^2}, \qquad a\in\mathbb R\]Řešení první limity v části (a)
(a) Pro \(x\in \left[-1{,}1\right]\) ze zmíněné definice funkce \(\arcsin\)platí, že
\[\sin(\arcsin x) = x.\]Protože tedy existuje (prstencové) okolí nuly, například interval \(x\in \left(-1{,}1\right)\setminus\{0\}\), kde platí zmínená rovnost, vyplývá odtud rovnost limit
\[\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{\sin(\arcsin x)}.\]Nyní použijeme větu o limitě složené funkce. Protože funkce \(\arcsin\) je inverzní ke spojité funkci, a tudíž je spojitá, platí
\[\lim_{x\to 0} \arcsin x = \arcsin 0 = 0.\]Klademe-li tedy \(y = \arcsin x\), pak pro \(x\to 0\) máme dle výpočtu výše také \(y\to 0.\)
Podle věty o aritmetice limit a části a3) úlohy Přehled používaných užívaných limit funkcí máme také, že
\[\lim_{y\to 0} \frac{y}{\sin y} = \frac{1}{\lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y}} = \frac{1}{1} = 1.\]A protože funkce \(\arcsin\) je inverzní funkcí, je prostá, a tudíž platí, že na libovolném prstencovém okolí nuly je \(\arcsin\) různý od nuly. Z věty o limitě složené funkce pak vyplývá, že
\[\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin x}{\sin(\arcsin x)} = \lim_{y\to 0} \frac{y}{\sin y} = 1.\]Řešení druhé limity v části (a)
Připomeňme, že pro \(x\in \left[-1{,}1\right]\) ze zmíněné definice funkce \(\arcsin\) platí, že
\[\sin(\arcsin x) = x.\]Protože tedy existuje levé prstencové okolí jedné, například interval \(x\in \left(0{,}1\right)\), kde platí zmínená rovnost, vyplývá odtud rovnost limit
\[\lim_{x\to 1-}\frac{\arcsin x-\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-x}} = \lim_{x\to 1-}\frac{\arcsin x-\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-\sin(\arcsin x)}}.\]Nyní použijeme větu o limitě složené funkce. Protože funkce \(\arcsin\) je inverzní ke spojité funkci, a tudíž je (v krajních bodech definičního oboru jednostranně) spojitá, platí
\[\lim_{x\to 1-} \arcsin x = \arcsin 1 = \frac{\pi}{2}.\]Klademe-li tedy \(y = \arcsin x\), pak pro \(x\to 1-\) máme dle výpočtu výše a dle faktu, že \(\arcsin\) je rostoucí, také že \(y\to \frac{\pi}{2}-.\)
Protože funkce \(\arcsin\) je inverzní funkcí, je prostá, a tudíž platí, že na libovolném levém prstencovém okolí jedničky je \(\arcsin\) různý od \(\frac{\pi}{2}\). Z věty o limitě složené funkce pak vyplývá, že
\[\lim_{x\to 1-} \frac{\arcsin x-\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-\sin(\arcsin x)}} = \lim_{y\to \frac{\pi}{2}-} \frac{y-\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-\sin y}},\]pokud limita napravo existuje.
Zkusme ji tedy vypočítat. Nejprve rozšíříme odmocninu ve jmenovateli
\[\lim_{y\to \frac{\pi}{2}-} \frac{y-\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-\sin y}} = \lim_{y\to \frac{\pi}{2}-} \frac{y-\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-\sin y}}\cdot\frac{\sqrt{1+\sin y}}{\sqrt{1+\sin y}} =\] \[= \lim_{y\to \frac{\pi}{2}-} \frac{y-\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-\sin^2y}}\cdot\left(\sqrt{1+\sin y}\right) =\]a použitím vztahu \(1-\sin^2y = \cos^2y\) a věty o aritmetice limit dostaneme
\[= \lim_{y\to \frac{\pi}{2}-} \frac{y-\frac{\pi}{2}}{\sqrt{\cos^2y}}\cdot\lim_{y\to \frac{\pi}{2}-} \left(\sqrt{1+\sin y}\right) =\] \[= \lim_{y\to \frac{\pi}{2}-} \frac{y-\frac{\pi}{2}}{\cos y}\cdot\sqrt{2},\]kde jsme jednak využili faktu, že na nějakém levém prstencovém okolí bodu \(\frac{\pi}{2}\) je \(\cos y\) kladné číslo, a tudíž \(\sqrt{\cos^2y} = \cos y\), a jednak faktu, že funkce druhá odmocnina a funkce sinus jsou spojité, a proto z věty o limitě složené funkce vyplývá
\[\lim_{y\to \frac{\pi}{2}-} 1+\sin y = 1+\sin\frac{\pi}{2}, \qquad \lim_{z\to 1+\sin\frac{\pi}{2}-} \sqrt{z} = \sqrt{1+\sin\frac{\pi}{2}} \implies\] \[\implies \lim_{y\to \frac{\pi}{2}-} \sqrt{1+\sin y} = \sqrt{1+\sin\frac{\pi}{2}} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}.\]Zbývá tak dopočítat limitu
\[\lim_{y\to \frac{\pi}{2}-} \frac{y-\frac{\pi}{2}}{\cos y}\cdot\sqrt{2},\]kde provedeme záměnu proměnných
\[u = y-\frac{\pi}{2}.\]Jestliže \(y\to \frac{\pi}{2}-\), potom není těžké nahlédnout, že \(u \to 0-\). Záměnnou pak s přihlédnutím k tomu, že \(y = u+\frac{\pi}{2}\), dostaneme
\[\lim_{y\to \frac{\pi}{2}-} \frac{y-\frac{\pi}{2}}{\cos y}\cdot\sqrt{2} = \lim_{u\to 0-} \frac{u}{\cos\left(u+\frac{\pi}{2}\right)}\cdot\sqrt{2} =\]a pomocí součtového vzorce
\[\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\]máme, že
\[= \lim_{u\to 0-} \frac{u}{\cos u\cos\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}\sin u}\cdot\sqrt{2} =\] \[= \lim_{u\to 0-} \frac{u}{-\sin u}\cdot\sqrt{2} = -\sqrt{2}.\]Řešení třetí limity v části (a)
Připomeňme, že pro \(x\in \left[-1{,}1\right]\) ze zmíněné definice funkce \(\arcsin\) platí, že
\[\sin(\arcsin x) = x.\]Protože tedy existuje pravé prstencové okolí minus jedné, například interval \(x\in \left(-1{,}0\right)\), kde platí zmínená rovnost, vyplývá odtud rovnost limit
\[\lim_{x\to -1+}\frac{\arcsin x+\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+x}} = \lim_{x\to -1+}\frac{\arcsin x+\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+\sin(\arcsin x)}}.\]Nyní použijeme větu o limitě složené funkce. Protože funkce \(\arcsin\) je inverzní ke spojité funkci, a tudíž je (v krajních bodech definičního oboru jednostranně) spojitá, platí
\[\lim_{x\to -1+} \arcsin x = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}.\]Klademe-li tedy \(y = \arcsin x\), pak pro \(x\to -1+\) máme dle výpočtu výše a dle faktu, že \(\arcsin\) je rostoucí, také že \(y\to -\frac{\pi}{2}+.\)
Protože funkce \(\arcsin\) je inverzní funkcí, je prostá, a tudíž platí, že na libovolném levém prstencovém okolí jedničky je \(\arcsin\) různý od \(-\frac{\pi}{2}\). Z věty o limitě složené funkce pak vyplývá, že
\[\lim_{x\to -1+} \frac{\arcsin x+\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+\sin(\arcsin x)}} = \lim_{y\to -\frac{\pi}{2}+} \frac{y+\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+\sin y}},\]pokud limita napravo existuje.
Zkusme ji tedy vypočítat. Nejprve rozšíříme odmocninu ve jmenovateli
\[\lim_{y\to -\frac{\pi}{2}+} \frac{y+\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+\sin y}} = \lim_{y\to -\frac{\pi}{2}+} \frac{y+\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+\sin y}}\cdot\frac{\sqrt{1-\sin y}}{\sqrt{1-\sin y}} =\] \[= \lim_{y\to -\frac{\pi}{2}+} \frac{y+\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-\sin^2y}}\cdot\left(\sqrt{1-\sin y}\right) =\]a použitím vztahu \(1-\sin^2y = \cos^2y\) a věty o aritmetice limit dostaneme
\[= \lim_{y\to -\frac{\pi}{2}+} \frac{y+\frac{\pi}{2}}{\sqrt{\cos^2y}}\cdot\lim_{y\to -\frac{\pi}{2}+} \left(\sqrt{1-\sin y}\right) =\] \[= \lim_{y\to -\frac{\pi}{2}+} \frac{y+\frac{\pi}{2}}{\cos y}\cdot\sqrt{2},\]kde jsme jednak využili faktu, že na nějakém pravém prstencovém okolí bodu \(-\frac{\pi}{2}\) je \(\cos y\) kladné číslo, a tudíž \(\sqrt{\cos^2y} = \cos y\), a jednak faktu, že funkce druhá odmocnina a funkce sinus jsou spojité, a proto z věty o limitě složené funkce vyplývá
\[\lim_{y\to -\frac{\pi}{2}+} 1-\sin y = 1-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right), \qquad \lim_{z\to 1-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)} \sqrt{z} = \sqrt{1-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)} \implies\] \[\implies \lim_{y\to -\frac{\pi}{2}+} \sqrt{1-\sin y} = \sqrt{1-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)} = \sqrt{1-(-1)} = \sqrt{2}.\]Zbývá tak dopočítat limitu
\[\lim_{y\to -\frac{\pi}{2}+} \frac{y+\frac{\pi}{2}}{\cos y}\cdot\sqrt{2},\]kde provedeme záměnu proměnných
\[u = y+\frac{\pi}{2}.\]Jestliže \(y\to -\frac{\pi}{2}+\), potom není těžké nahlédnout, že \(u \to 0+\). Záměnnou pak s přihlédnutím k tomu, že \(y = u-\frac{\pi}{2}\), dostaneme
\[\lim_{y\to -\frac{\pi}{2}+} \frac{y+\frac{\pi}{2}}{\cos y}\cdot\sqrt{2} = \lim_{u\to 0+} \frac{u}{\cos\left(u-\frac{\pi}{2}\right)}\cdot\sqrt{2} =\]a pomocí součtového vzorce
\[\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\]máme, že
\[= \lim_{u\to 0+} \frac{u}{\cos u\cos\frac{\pi}{2}+\sin\frac{\pi}{2}\sin u}\cdot\sqrt{2} =\] \[= \lim_{u\to 0+} \frac{u}{\sin u}\cdot\sqrt{2} = \sqrt{2}.\]Řešení čtvrté limity v části (a)
Pro \(a\in \left(-1{,}1\right)\) ze zmíněné definice funkce \(\arcsin\) vyplývá, že existuje číslo \(\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}\right]\) takové, že
\[\arcsin a = \alpha, \qquad a = \sin\alpha.\]Tudíž počítanou limitu můžeme přepsat do tvaru
\[\lim_{x\to a}\frac{\arcsin x-\arcsin a}{x-a} = \lim_{x\to \sin\alpha}\frac{\arcsin x-\alpha}{x-\sin\alpha}.\]Navíc, pro \(x\in \left[-1{,}1\right] \) také z definice funkce \(\arcsin\) platí, že
\[\sin(\arcsin x) = x.\]Protože tedy existuje (prstencové) okolí bodu \(a = \sin\alpha\) ležící uvnitř intervalu \((-1{,}1)\), kde platí zmínená rovnost, vyplývá odtud rovnost limit
\[\lim_{x\to \sin\alpha}\frac{\arcsin x-\alpha}{x-\sin\alpha} = \lim_{x\to \sin\alpha}\frac{\arcsin x-\alpha}{\sin(\arcsin x)-\sin\alpha}.\]Nyní použijeme větu o limitě složené funkce. Protože funkce \(\arcsin\) je inverzní ke spojité funkci, a tudíž je spojitá, platí
\[\lim_{x\to \sin\alpha} \arcsin x = \arcsin(\sin\alpha) = \alpha.\]Klademe-li tedy \(y = \arcsin x\), pak pro \(x\to \sin\alpha\) máme dle výpočtu výše také \(y\to \alpha.\)
A protože funkce \(\arcsin\) je inverzní funkcí, je prostá, a tudíž platí, že na libovolném prstencovém okolí bodu \(\sin\alpha\) je \(\arcsin\) různý od \(\arcsin(\sin\alpha) = \alpha\). Z věty o limitě složené funkce pak vyplývá, že
\[\lim_{x\to \sin\alpha} \frac{\arcsin x-\alpha}{\sin(\arcsin x)-\sin\alpha} = \lim_{y\to \alpha} \frac{y-\alpha}{\sin y-\sin\alpha},\]pokud limita napravo existuje.
Tato limita je vlastně \glqq otočenou\grqq derivací funkce sinus v bodě a, ale odvoďme ji. Použijeme součtového vzorce
\[\sin y-\sin\alpha = 2\cdot\sin\frac{y-\alpha}{2}\cos\frac{y+\alpha}{2}.\]Potom máme podle věty o aritmetice limit
\[\lim_{y\to \alpha} \frac{y-\alpha}{\sin y-\sin\alpha} = \frac{1}{\lim\limits_{y\to \alpha} \frac{\sin y-\sin\alpha}{y-\alpha}} = \] \[= \frac{1}{\lim\limits_{y\to \alpha} \frac{2\cdot\sin\frac{y-\alpha}{2}\cos\frac{y+\alpha}{2}}{y-\alpha}} = \frac{1}{\lim\limits_{y\to \alpha} \frac{\sin\frac{y-\alpha}{2}}{\frac{y-\alpha}{2}}\cdot\lim\limits_{y\to \alpha} \cos\frac{y+\alpha}{2}} = \]kde první limitu spočteme pomocí věty o limitě složené funkce a faktu, že \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) a druhá vyplývá ze spojitosti funkce kosinus
\[= \frac{1}{1\cdot \cos\alpha} = \frac{1}{\cos\alpha}.\]Nyní již jen upravujeme výsledný výraz. Víme, že \(\alpha = \arcsin a\), a tudíž
\[\frac{1}{\cos\alpha} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin a)}} = \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}.\]Řešení části (b)
Veškeré výsledky v této části vyplývají z části (a) a faktu, že
\[\arccos x = \frac{\pi}{2}-\arcsin x.\]Například poslední limita v seznamu se odvodí takto
\[\lim_{x\to a} \frac{\arccos x-\arccos a}{x-a} = \lim_{x\to a} \frac{\frac{\pi}{2}-\arcsin x-\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin a\right)}{x-a} = \] \[ = \lim_{x\to a} -\frac{\arcsin x-\arcsin a}{x-a} = -\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}.\]Řešení první limity v části (c)
Pro \(x\in \mathbb{R}\) ze zmíněné definice funkce \(\arctan\)platí, že
\[\tan(\arctan x) = x.\]Protože tedy existuje (prstencové) okolí nuly, například interval \(x\in \left(-1{,}1\right)\setminus\{0\}\), kde platí zmínená rovnost, vyplývá odtud rovnost limit
\[\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}{\tan(\arctan x)}.\]Nyní použijeme větu o limitě složené funkce. Protože funkce \(\arctan\) je inverzní ke spojité funkci, a tudíž je spojitá, platí
\[\lim_{x\to 0} \arctan x = \arctan 0 = 0.\]Klademe-li tedy \(y = \arctan x\), pak pro \(x\to 0\) máme dle výpočtu výše také \(y\to 0.\)
Podle věty o aritmetice limit a části a3) úlohy Přehled používaných užívaných limit funkcí máme také, že
\[\lim_{y\to 0} \frac{y}{\tan y} = \lim_{y\to 0} \frac{y}{\sin y}\cdot \cos y = \frac{1}{\lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y}} \cdot \lim_{y\to 0} \cos y = \frac{1}{1} \cdot 1 = 1.\]A protože funkce \(\arctan\) je inverzní funkcí, je prostá, a tudíž platí, že na libovolném prstencovém okolí nuly je \(\arctan\) různý od nuly. Z věty o limitě složené funkce pak vyplývá, že
\[\lim_{x\to 0} \frac{\arctan x}{\sin(\arctan x)} = \lim_{y\to 0} \frac{y}{\tan y} = 1.\]Řešení druhé limity v části (c)
Tato limita je speciálním případem poslední limity, pokud klademe
\[a = 1,\]neboť
\[\arctan 1 = \frac{\pi}{4}.\]Řešení třetí limity v části (c)
Budeme dokazovat z definice limity funkce.
Tvrdíme, že pro každé ε > 0 existuje x0 takové, že pro každé x > x0 je
\[\left|\arctan x - \frac{\pi}{2}\right| < \varepsilon.\]To je ekvivalentní dvěma nerovnostem
\[\arctan < \frac{\pi}{2} + \varepsilon\] \[\arctan > \frac{\pi}{2} - \varepsilon\]Protože obor hodnot inverzní funkce \(\arctan\) je roven tomu definičnímu oboru funkce \(\tan\), k němuž se inverzní funkce vztahuje, v našem případě je to interval \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\), platí vždy nerovnost
\[\arctan x < \frac{\pi}{2},\]a tudíž také nerovnost
\[\arctan x < \frac{\pi}{2} + \varepsilon\]pro libovolně zvolené ε > 0.
Co se týče druhé nerovnosti, protože oborem hodnot funkce \(\arctan\) je ze zmíněného důvodu interval \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\), existuje pro libovolně zvolené ε > 0 nějaké x0 takové, že
\[\arctan x_0 = \frac{\pi}{2}-\varepsilon.\]A protože \(\arctan\) je (ostře) rostoucí funkcí, platí tudíž pro každé x > x0, že
\[\arctan x > \arctan x_0 = \frac{\pi}{2}-\varepsilon,\]což jsme chtěli dokázat.
Řešení čtvrté limity v části (c)
Připomeňme, že pro všechna \(x\in \mathbb{R}\) z definice funkce \(\arctan\) platí, že
\[\tan(\arctan x) = x.\]Protože tedy existuje levé prstencové okolí nekonečna, například interval \(x\in \left(0,+\infty\right)\), kde platí zmínená rovnost, vyplývá odtud rovnost limit
\[\lim_{x\to +\infty} x\cdot\left(\arctan x-\frac{\pi}{2}\right) = \lim_{x\to +\infty} \tan(\arctan x)\cdot\left(\arctan x-\frac{\pi}{2}\right).\]Nyní použijeme větu o limitě složené funkce. Ve třetí limitě části (c) jsme ukázali, že
\[\lim_{x\to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}.\]Klademe-li tedy \(y = \arctan x\), pak pro \(x\to +\infty\) máme dle výpočtu výše a dle faktu, že \(\arctan\) je (ostře) rostoucí, také že \(y\to \frac{\pi}{2}-.\)
Jak jsme zmínili, funkce \(\arctan\) je (ostře) rostoucí funkcí, je tedy prostá, a tudíž platí, že na libovolném levém prstencovém okolí plus nekonečna je \(\arctan\) různý od \(\frac{\pi}{2}\). Z věty o limitě složené funkce pak vyplývá, že
\[\lim_{x\to +\infty} \tan(\arctan x)\cdot\left(\arctan x-\frac{\pi}{2}\right) = \lim_{y\to \frac{\pi}{2}-} \tan y\cdot\left(y-\frac{\pi}{2}\right),\]pokud limita napravo existuje.
Zkusme ji tedy vypočítat. Nejprve ji pomocí aritmetiky limit zjednodušíme na tvar
\[\lim_{y\to \frac{\pi}{2}-} \frac{\sin y}{\cos y}\cdot\left(y-\frac{\pi}{2}\right) = \lim_{y\to \frac{\pi}{2}-} \sin y \cdot \lim_{y\to \frac{\pi}{2}-}\frac{1}{\cos y}\cdot\left(y-\frac{\pi}{2}\right) = \] \[ = \lim_{y\to \frac{\pi}{2}-} \frac{y-\frac{\pi}{2}}{\cos y}.\]Nyní provedeme záměnu proměnných
\[u = y-\frac{\pi}{2}.\]Jestliže \(y\to \frac{\pi}{2}-\), potom není těžké nahlédnout, že \(u \to 0-\). Záměnnou pak s přihlédnutím k tomu, že \(y = u+\frac{\pi}{2}\), dostaneme
\[\lim_{u\to 0-} \frac{u}{\cos(u+\frac{\pi}{2})} = \]a pomocí součtového vzorce
\[\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \tan\alpha\tan\beta\]máme, že
\[= \lim_{u\to 0-} \frac{u}{\cos u\cos\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}\sin u} =\] \[= \lim_{u\to 0-} \frac{u}{-\sin u} = -1.\]Řešení páté limity v části (c)
Buď lze využít stejného postupu jako u čtvrté limity této části, anebo faktu, že funkce \(x\) a \(\arctan x\) jsou liché. Proto platí
\[\lim_{x\to -\infty} x\cdot\left(\arctan x +\frac{\pi}{2}\right) = \lim_{x\to -\infty} (-x)\cdot\left(-\arctan x -\frac{\pi}{2}\right) =\] \[= \lim_{x\to -\infty} (-x)\cdot\left(\arctan(-x) -\frac{\pi}{2}\right).\]Platí, že
\[\lim_{x\to -\infty} (-x) = +\infty\]a podle čtvrté limity této části máme
\[\lim_{y\to +\infty} y\cdot\left(\arctan y-\frac{\pi}{2}\right) = -1.\]S přihlédnutím k faktu, že vnitřní funkce \(-x\) je prostá, z věty o limitě složené funkce vyplývá, že
\[\lim_{x\to -\infty} (-x)\cdot\left(\arctan(-x) -\frac{\pi}{2}\right) = -1.\]Řešení šesté limity v části (c)
Pro \(a\in \mathbb{R}\) ze zmíněné definice funkce \(\arctan\) vyplývá, že existuje číslo \(\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}\right]\) takové, že
\[\arctan a = \alpha, \qquad a = \tan\alpha.\]Tudíž počítanou limitu můžeme přepsat do tvaru
\[\lim_{x\to a}\frac{\arctan x-\arctan a}{x-a} = \lim_{x\to \tan\alpha}\frac{\arctan x-\alpha}{x-\tan\alpha}.\]Navíc, pro \(x\in \mathbb{R} \) také z definice funkce \(\arctan\) platí, že
\[\tan(\arctan x) = x.\]Protože tedy existuje (prstencové) okolí bodu \(a = \tan\alpha\), kde platí zmínená rovnost, vyplývá odtud rovnost limit
\[\lim_{x\to \tan\alpha}\frac{\arctan x-\alpha}{x-\tan\alpha} = \lim_{x\to \tan\alpha}\frac{\arctan x-\alpha}{\tan(\arctan x)-\tan\alpha}.\]Nyní použijeme větu o limitě složené funkce. Protože funkce \(\arctan\) je inverzní ke spojité funkci, a tudíž je spojitá, platí
\[\lim_{x\to \tan\alpha} \arctan x = \arctan(\tan\alpha) = \alpha.\]Klademe-li tedy \(y = \arctan x\), pak pro \(x\to \tan\alpha\) máme dle výpočtu výše také \(y\to \alpha.\)
A protože funkce \(\arctan\) je inverzní funkcí, je prostá, a tudíž platí, že na libovolném prstencovém okolí bodu \(\tan\alpha\) je \(\arctan\) různý od \(\arctan(\tan\alpha) = \alpha\). Z věty o limitě složené funkce pak vyplývá, že
\[\lim_{x\to \tan\alpha} \frac{\arctan x-\alpha}{\tan(\arctan x)-\tan\alpha} = \lim_{y\to \alpha} \frac{y-\alpha}{\tan y-\tan\alpha},\]pokud limita napravo existuje.
Tato limita je vlastně \glqq otočenou\grqq derivací funkce tangens v bodě α, ale odvoďme ji. Použijeme součtového vzorce
\[\tan y-\tan\alpha = \tan(y-\alpha)\left(1+\tan\alpha\tan y\right).\]Potom máme podle věty o aritmetice limit
\[\lim_{y\to \alpha} \frac{y-\alpha}{\tan y-\tan\alpha} = \frac{1}{\lim\limits_{y\to \alpha} \frac{\tan y-\tan\alpha}{y-\alpha}} = \] \[= \frac{1}{\lim\limits_{y\to \alpha} \frac{(1+\tan y\tan\alpha)\cdot\tan(y-\alpha)}{y-\alpha}} = \frac{1}{\lim\limits_{y\to \alpha} (1+\tan y\tan\alpha)\cdot \lim\limits_{y\to \alpha}\frac{\tan(y-\alpha)}{y-\alpha}} = \]kde druhou limitu spočteme pomocí věty o limitě složené funkce a faktu, že \(\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1\) a první vyplývá ze spojitosti funkce tangens
\[= \frac{1}{(1+\tan^2\alpha)\cdot 1} = \frac{1}{1+\tan^2\alpha}.\]A protože víme, že \(\alpha = \arctan a\), máme tudíž
\[\frac{1}{1+\tan^2\alpha} = \frac{1}{1+a^2}.\]Řešení části (d)
Veškeré výsledky v této části vyplývají z části (c) a faktu, že
\[\textrm{arccotg}\,x = \frac{\pi}{2}-\arctan x.\]Například poslední limita v seznamu se odvodí takto
\[\lim_{x\to a} \frac{\textrm{arccotg}\,x -\textrm{arccotg}\,a}{x-a} = \lim_{x\to a} \frac{\frac{\pi}{2}-\arctan x-\left(\frac{\pi}{2}-\arctan a\right)}{x-a} = \] \[ = \lim_{x\to a} -\frac{\arctan x-\arctan a}{x-a} = -\frac{1}{1+a^2}.\]
