Sbírka řešených úloh

Goniometrické substituce 1.

Úloha číslo: 1260

• Rozbor

  Určit primitivní funkci k zadané odmocnine není na první pohled jednoduché. Všimněme si ale, že definiční obor zadané funkce je totožný s oborem hodnot goniometrických funkcí sinus a kosinus.

  Toto zjištění by nás mělo směřovat cestou goniometrických substitucí Goniometrické substituce - odvození a využití známých vztahů pro goniometrické funkce.

  Nejprve je důležité vhodně zvolit substituci tak, abychom si práci co nejvíce zjednodušili.

  Navíc je nutné splnit podmínku dané substituce, tedy před použitím je třeba ji ověřit.

  Substituci \(t=\mathrm{tg}\,{\left(\frac{x}{2}\right)}\), jež funguje vždy, se raději vyhněte, neboť jednak vede na složitý výpočet a pak je často třeba, takzvaně, dolepit v některých hodnotách, pro něž není výsledná primitivní funkce definována.

  Tuto konkrétní úlohu je možno řešit také pomocí eulerových substitucí.

• Nápověda

  Pomocí definice funkcí sinus a cosinus, známých neurčitých integrálů Přehled základních primitivních funkcí, známých základních derivací Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné, vhodné goniometrické substituce Goniometrické substituce - odvození a vlastností goniometrických funkcí určete hledaný neurčitý integrál.

• Řešení

  Nejprve vhodně zvolíme substituci Goniometrické substituce - odvození.

  Volme například \(x=\sin(t)\), kde pro dx platí \(dx=\cos(t)dt\), po zavedení substituce bude integrál vypadat:

  \[\int{\sqrt{1-x^2}}dx=\int{\cos{t}\sqrt{1-\sin^2{t}}}dt=\]

  Využijme vlastnosti \(1=\sin^2{a}+\cos^2{a}\) a výraz následně odmocníme:

  \[=\int{\cos{t}\sqrt{\cos^2{t}}}dt=\int{\cos^2{t}}dt\]

  Nyní využijeme identity \(\cos^2{z}=\frac{1+\cos{2z}}{2}\) a výraz přepíšeme jako:

  \[=\int{\cos^2{t}}dt=\int{\frac{1+\cos{2t}}{2}}dt=\]

  využijeme linearity integrálu a integrál rozdělíme:

  \[=\frac{1}{2}\int{1}dt+\frac{1}{2}\int{\cos{2t}}dt=\]

  pomocí Přehled základních primitivních funkcí určíme oba neurčité integrály:

  \[=\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin{2t}+c\]

  výraz upravíme pomocí identity \(\sin{2t}=2\sin{t}\cos{t}\):

  \[=\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\sin{t}\cos{t}+c\]

  před tím, než provedeme zpětnou substituci, je třeba vyjádřit t a celý výraz ještě jednou upravit pomocí identity \(1=\sin^2{a}+\cos^2{a}\):

  \[x=\sin{t}\Rightarrow \arcsin{x}=t\] \[\cos^2{t}=1-\sin^2{t}\Rightarrow \cos{t}=\sqrt{1-\sin^2{t}}\]

  díky čemuž výraz nakonec přepíšeme:

  \[=\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\sin{t}\sqrt{1-\sin^2{t}}+c=\] \[=\frac{1}{2}\arcsin{x}+\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+c\]