Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Goniometrické substituce 1.

Úloha číslo: 1260

Určete:

\[\int{\sqrt{1-x^2}}dx\]
  • Rozbor

    Určit primitivní funkci k zadané odmocnine není na první pohled jednoduché. Všimněme si ale, že definiční obor zadané funkce je totožný s oborem hodnot goniometrických funkcí sinus a kosinus.

    Toto zjištění by nás mělo směřovat cestou goniometrických substitucí Goniometrické substituce - odvození a využití známých vztahů pro goniometrické funkce.

    Nejprve je důležité vhodně zvolit substituci tak, abychom si práci co nejvíce zjednodušili.

    Navíc je nutné splnit podmínku dané substituce, tedy před použitím je třeba ji ověřit.

    Substituci \(t=\mathrm{tg}\,{\left(\frac{x}{2}\right)}\), jež funguje vždy, se raději vyhněte, neboť jednak vede na složitý výpočet a pak je často třeba, takzvaně, dolepit v některých hodnotách, pro něž není výsledná primitivní funkce definována.

    Tuto konkrétní úlohu je možno řešit také pomocí eulerových substitucí.

  • Nápověda

    Pomocí definice funkcí sinus a cosinus, známých neurčitých integrálů Přehled základních primitivních funkcí, známých základních derivací Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné, vhodné goniometrické substituce Goniometrické substituce - odvození a vlastností goniometrických funkcí určete hledaný neurčitý integrál.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze