Substituce III
Úloha číslo: 1499
Určete pomocí substituce
\[\int\frac{\sin{x}}{1+\cos^2{x}}dx\]Motivace
Existuje celá řada metod pro řešení integrálů. Jednou z nich je právě substituční metoda. Její síla spočívá v mnohdy poměrně snadné aplikaci. Řada, na půdě škol řešených integrálů, navíc vede právě na řešení touto metodou.
Následující věta v kostce shrnuje základní princip metody.
Věta o substituci
Mějme funkci \(f\) definovanou na intervalu \(I \in \mathbb{R}\), mající na témže intervalu primitivní funkci \(F\). Dále mějme funkci \(g\) zobrazující interval \(J \in \mathbb{R}\) na interval \(I\), která je spojitě derivovatelná na intervalu \(J\). Pak \(F(g)\) je primitivní funkce k funkci \(f(g)g\prime\) na intervalu \(J\)
\[\int f(g(x))g\prime(x)dx=\int f(y)dy\,\,\bigg|_{y=g(x)}\]Lidský překlad věty říká, že vidíme-li v integrovaném výrazu funkci ve vhodné konstalaci s její derivací, pak jsou nám vrátka k substituci příznivě pootevřena. Často stačí jen provést několik kosmetických úprav a následnou substitucí integrál převádíme na tabulkový případ.
Pozornému oku neunikne, že skutečný potenciál této metody dlí v počtářově zkušenosti s derivováním a v jeho „oku“ na vnímání kombinací funkce se svou derivací.
Vhodná substituce
Pozorně si prohlédněte integrovanou funkci. Pokuste se nalézt vhodnou kombinaci funkce, za niž budete substituovat s její derivací.
Nevidíte-li nic na první pohled, pokuste se problém vyřešit zkusmým derivováním - metodou pokus, omyl.
Integrace
Pomocí zvolené substituce převeďte úlohu na tabulkový případ, integrál vyřešte a následnou zpětnou substitucí určete konečnou podobu řešení.
Řešení
Nejprve se zaměříme na hledání substituované funkce a jí příslušné derivace, zjišťujeme, že funkci \(\cos{x}\) přísluší derivace \(-\sin{x}\)
Volíme-li tedy substituci \(y=\cos{x}\), pak pro derivaci \(y\) podle \(x\) bude platit
\[dy=-\sin{x}dx \implies -dy=\sin{x}dx\]Je zjevné, že námi zvolená substituce je v daném případě správná, neboť vede na tabulkový integrál \(\int \frac{1}{1+w^2} dw = \mathrm{arctg}\, {w} +c\)
Již máme připravenou substituci
\[y=\cos{x}\] \[-dy=\sin{x}dx\]po dosazení do původní úlohy
\[I=\int\frac{\sin{x}}{1+\cos^2{x}}dx\]získáváme
\[I=-\int \frac {1}{1+y^2} dy\]což je tabulkový integrál, řešitelný jako
\[=-\mathrm{arctg}\,{y}+c\]nakonec po následné zpětné substituci získáváme
\[=-\mathrm{arctg}\,{\cos{x}}+c\]což je i hledaným řešením původní úlohy
Výsledek
\[I=-\mathrm{arctg}\,{\cos{x}}+c\]Další úloha v sérii
