Eulerovy rovnice
Úloha číslo: 1889
Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice \(x^2y''-xy'+y=x\ln^3 x\).
Eulerovy rovnice
Takzvané Eulerovy rovnice, nebo-li rovnice typu
\[x^ny^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{n-1}+\cdots + a_1 x^{1}y'+a_0y = f(x) \]umíme pro \(x>\)0 převést substitucí
\[x=\mathrm{e}^t \]na lineární rovnice s konstantními koeficienty.
Užijeme-li totiž výše uvedenou substituci, lze \(y\) považovat za funkci \(\mathrm{e}^t\), nebo-li
\[y=y(\mathrm{e}^t)\,.\]Dále zavedeme pomocnou funkci
\[y(\mathrm{e}^t)=z(t) \Rightarrow y(x)= z (\ln x)\,.\]Pro derivace \(y'\), \(y''\) a \(y'''\) tak bude platit
\[\begin{align*} y'&=\frac{1}{x}z' \Rightarrow xy'=z' \\ y''&=-\frac{1}{x^2}z'+\frac{1}{x^2}z'' \Rightarrow x^2y''=-z'+z''\\ y'''&=2\frac{1}{x^3}z' -\frac{1}{x^3}z' -2\frac{1}{x^3}z'' +\frac{1}{x^3}z''' \Rightarrow x^3y'''=z' -2z'' +z''' \,. \end{align*}\]Pro \(k\)-tou derivaci bychom stejným způsobem došli obecně ke vztahu
\[y^{(k)} = \frac{1}{x^k}\left(z^{(k)} + \sum_{i=1}^{k-1} \epsilon_i z^{(i)}\right)\Rightarrow x^ky^{(k)}= z^{(k)} + \sum_{i=1}^{k-1} \epsilon_i z^{(i)}\,,\]kde \(\epsilon_i\) značí příslušné reálné konstanty.
Po nasazení výše vydobytých vztahů tak řešená rovnice přechází v lineární rovnici s konstantními koeficienty
\[a_n\left(z^{(n)} + \sum_{i=1}^{n-1} \epsilon_i z^{(i)}\right)+a_{n-1}\left(z^{(n-1)} + \sum_{i=1}^{n-2} \epsilon_i z^{(i)}\right)+\cdots + a_1 x^{1}\frac{1}{x}z'+a_0 z = f(\mathrm{e}^t)\]nebo-li po přeznačení
\[b_nz^{(n)}+b_{n-1}z^{(n-1)}+\cdots + b_1z'+b_0 = f({\mathrm{e}^t}) \,.\]Nalezneme-li nyní řešení upravené rovnice \(z(t)\), pak \(y(x)=z(\ln x)\) bude řešením rovnice původní.
V případě, kdy \(x<0\) užíváme substituci
\[x=-\mathrm{e}^t\]a postupujeme totožně.
Přechod k lineární rovnici
V duchu rozboru úlohy nejprve přejděte k lineární diferenciální rovnici.
Homogenní rovnice
Podle Homogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty nejprve vyřešte příslušnou homogenní rovnici.
Rovnice s pravou stranou
Pomocí získaného řešení homogenní rovnice nyní nalezněte řešení rovnice s pravou stranou.
Řešení
Jedná se o Eulerovu rovnici druhého řádu. Naším cílem tak bude převést řešení zadané rovnice v řešení lineární rovnice s konstantními koeficienty pomocí vhodné substituce. Kvůli obsaženému logaritmu má smysl uvažovat jen \(x > 0\), užijeme proto
\(x=\mathrm{e}^t \Rightarrow y=y(\mathrm{e}^t) \,.\)Dále zavedeme pomocnou funkci
\[z(t) = y \Rightarrow y=z(\ln t)\]a vyjádříme první i druhou derivaci
\[\begin{align*} y'&=\frac{1}{x}z'\Rightarrow xy' = z'\\ y''&=-\frac{1}{x^2}z'+\frac{1}{x^2}z''\Rightarrow x^2y''=-z'+z'' \,. \end{align*}\]Řešená rovnice tak celkově přejde v rovnici s konstantními koeficienty
\[\begin{align*} (-z'+z'')-z'+z&=\mathrm{e}^tt^3\\ z''-2z'+z&=\mathrm{e}^tt^3 \,, \end{align*}\]kde jsme pravou stranu získali po dosazení \(\mathrm{e}^t=x\) do výrazu \(x\ln^3 x\).
Dále již postupujeme jako v případě homogenní rovnice s konstantními koeficienty
\[\begin{align*} \lambda^2-2\lambda +1 &= 0\\ (\lambda-1)^2 &= 0 \,. \end{align*}\]Vidíme, že charakteristické rovnici přísluší dvojnásobný kořen \(\lambda =1\), a tedy obecné řešení ve tvaru
\[z_h= c_1\mathrm{e}^t +c_2t\mathrm{e}^t\,.\]Přikročme nyní k rovnici s pravou stranou. Vidíme, že \(s=3\), \(\alpha = 1\), \(\beta = 0\), a tedy \(\lambda = 1+0i\) je dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice. Pokládáme proto \(k=2\) a navrhujeme partikulární řešení
\[z_p= t^2\mathrm{e}^{1t}\bigl(S_3(t)\bigr)=t^2\mathrm{e}^t(at^3+bt^2+ct+d)=\mathrm{e}^t(at^5+bt^4+ct^3+dt^2)\,.\]Pro derivace \(z'_p\) a \(z''_p\) pak bude platit
\[\begin{align*} z'_p &= \mathrm{e}^t(5at^4+4bt^3+3ct^2+2dt)+\mathrm{e}^t(at^5+bt^4+ct^3+ dt^2)\\ z''_p &= 2\mathrm{e}^t(5at^4+4bt^3+3ct^2+2dt)+\mathrm{e}^t(at^5+bt^4+ct^3+dt^2)+ \\ &+\mathrm{e}^t(20at^3+12bt^2+6ct+2d)\,. \end{align*}\]Po dosazení tak celkově získáme
\[2\mathrm{e}^t(5at^4+4bt^3+3ct^2+2dt)+\mathrm{e}^t(at^5+bt^4+ct^3+d t^2) +\mathrm{e}^t(20at^3+12bt^2+6ct+2d) + \] \[-2\mathrm{e}^t(5at^4+4bt^3+3ct^2+2dt)-2\mathrm{e}^t(at^5+bt^4+ct^3+d t^2)+\mathrm{e}^t(at^5+bt^4+ct^3+d t^2)= \mathrm{e}^tt^3\,.\]Po krácení \(\mathrm{e}^t\) a dalších úpravách pak
\[20at^3+12bt^2+6ct+2d =t^3 \Rightarrow a = \frac{1}{20};\, b=c=d=0\,.\]Pro \(z_p\) tak bude platit
\[z_p=\mathrm{e}^t\frac{1}{20}t^5\,,\] dále pro \(z\) \[z=z_h+z_p= c_1\mathrm{e}^t +c_2t\mathrm{e}^t+\mathrm{e}^t\frac{1}{20}t^5\,.\]Po přechodu zpět k \(x\) pak konečně získáme
\[y =c_1x +c_2x\ln x+x\frac{1}{20}\ln^5 x\,.\]
