Základní limity posloupností II
Úloha číslo: 805
Dokažte, že pro každé c reálné a α racionální platí:
(a) \[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{c}{n^\alpha} = 0,\] je-li α > 0.
(b) \[\lim_{\small n\to\infty} \ c\,n^\alpha = +\infty,\] je-li α > 0 a c > 0.
(c) \[\lim_{\small n\to\infty} \ c\,n^\alpha = -\infty,\] je-li α > 0 a c < 0.
Poznámka: Tvrzení platí beze změny i pro reálná čísla α. Důkaz je ale odvislý od použité definice reálných čísel, definice obecné mocniny a definice a následně odvozených vlastností mocninné funkce.
Řešení části (a)
(a) V úloze Základní limity posloupností je dokázáno v bodech 1 a 2, že
\[\lim\ c = c, \qquad \lim \frac{1}{n} = 0.\]Podle tvrzení (b) v úloze Limita pod odmocninou II pak platí pro kladné racionální α
\[\lim \frac{1}{n^\alpha} = \lim \left(\frac{1}{n}\right)^\alpha = \left(\lim \frac{1}{n}\right)^\alpha = 0,\]neboť posloupnost {1/n} je posloupnost kladných členů mající nulovou limitu.
A konečně podle věty o aritmetice limit (viz 1. tvrzení v úloze Věta o aritmetice limit pro posloupnosti) máme s využitím předchozí rovnosti
\[\lim \frac{c}{n^\alpha} = \lim\ c \cdot \lim \frac{1}{n^\alpha} = c\cdot 0 = 0.\]Řešení části (b)
(b) V úloze Základní limity posloupností je dokázáno v bodech 1 a 3, že
\[\lim\ c = c, \qquad \lim n = +\infty.\]Podle tvrzení (c) v úloze Limita pod odmocninou II pak platí pro kladné racionální α
\[\lim\ n^\alpha = +\infty,\]neboť posloupnost {n} je posloupnost kladných členů mající limitu +∞.
A konečně podle věty o aritmetice limit (viz 1. tvrzení v úloze Věta o aritmetice limit pro posloupnosti) máme pro kladné c s využitím předchozí rovnosti
\[\lim cn^\alpha = \lim\ c \cdot \lim\ n^\alpha = c\cdot (+\infty) = +\infty.\]Řešení části (c)
(c) Postup je zcela analogický části (b).
V úloze Základní limity posloupností je dokázáno v bodech 1 a 3, že
\[\lim\ c = c, \qquad \lim n = +\infty.\]Podle tvrzení (c) v úloze Limita pod odmocninou II pak platí pro kladné racionální α
\[\lim\ n^\alpha = +\infty,\]neboť posloupnost {n} je posloupnost kladných členů mající limitu +∞.
A konečně podle věty o aritmetice limit (viz 1. tvrzení v úloze Věta o aritmetice limit pro posloupnosti) máme pro záporné c s využitím předchozí rovnosti
\[\lim cn^\alpha = \lim\ c \cdot \lim\ n^\alpha = c\cdot (+\infty) = -\infty.\]
