Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Základní limity posloupností II

Úloha číslo: 805

Dokažte, že pro každé c reálné a α racionální platí:

(a) \[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{c}{n^\alpha} = 0,\] je-li α > 0.

(b) \[\lim_{\small n\to\infty} \ c\,n^\alpha = +\infty,\] je-li α > 0 a c > 0.

(c) \[\lim_{\small n\to\infty} \ c\,n^\alpha = -\infty,\] je-li α > 0 a c < 0.

Poznámka: Tvrzení platí beze změny i pro reálná čísla α. Důkaz je ale odvislý od použité definice reálných čísel, definice obecné mocniny a definice a následně odvozených vlastností mocninné funkce.

  • Řešení části (a)

    (a) V úloze Základní limity posloupností je dokázáno v bodech 1 a 2, že

    \[\lim\ c = c, \qquad \lim \frac{1}{n} = 0.\]

    Podle tvrzení (b) v úloze Limita pod odmocninou II pak platí pro kladné racionální α

    \[\lim \frac{1}{n^\alpha} = \lim \left(\frac{1}{n}\right)^\alpha = \left(\lim \frac{1}{n}\right)^\alpha = 0,\]

    neboť posloupnost {1/n} je posloupnost kladných členů mající nulovou limitu.

    A konečně podle věty o aritmetice limit (viz 1. tvrzení v úloze Věta o aritmetice limit pro posloupnosti) máme s využitím předchozí rovnosti

    \[\lim \frac{c}{n^\alpha} = \lim\ c \cdot \lim \frac{1}{n^\alpha} = c\cdot 0 = 0.\]
  • Řešení části (b)

    (b) V úloze Základní limity posloupností je dokázáno v bodech 1 a 3, že

    \[\lim\ c = c, \qquad \lim n = +\infty.\]

    Podle tvrzení (c) v úloze Limita pod odmocninou II pak platí pro kladné racionální α

    \[\lim\ n^\alpha = +\infty,\]

    neboť posloupnost {n} je posloupnost kladných členů mající limitu +∞.

    A konečně podle věty o aritmetice limit (viz 1. tvrzení v úloze Věta o aritmetice limit pro posloupnosti) máme pro kladné c s využitím předchozí rovnosti

    \[\lim cn^\alpha = \lim\ c \cdot \lim\ n^\alpha = c\cdot (+\infty) = +\infty.\]
  • Řešení části (c)

    (c) Postup je zcela analogický části (b).

    V úloze Základní limity posloupností je dokázáno v bodech 1 a 3, že

    \[\lim\ c = c, \qquad \lim n = +\infty.\]

    Podle tvrzení (c) v úloze Limita pod odmocninou II pak platí pro kladné racionální α

    \[\lim\ n^\alpha = +\infty,\]

    neboť posloupnost {n} je posloupnost kladných členů mající limitu +∞.

    A konečně podle věty o aritmetice limit (viz 1. tvrzení v úloze Věta o aritmetice limit pro posloupnosti) máme pro záporné c s využitím předchozí rovnosti

    \[\lim cn^\alpha = \lim\ c \cdot \lim\ n^\alpha = c\cdot (+\infty) = -\infty.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze