Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Nekonečné součty

Úloha číslo: 1167

1) Dokažte, že pro každá přirozená čísla rn platí vztah \(\sum_{i=r}^n {\binom{i}{r}} = {\binom{n+1}{r+1}}\)

2) S využitím dokázaného vztahu \(\sum_{i=r}^n {\binom{i}{r}} = {\binom{n+1}{r+1}}\) odvoďte následující vztahy:

  a) \({1+2+3+\cdots+n}={\sum_{i=1}^n i}\)

  b) \({1^2+2^2+\cdots+n^2}={\sum_{i=1}^n i^2}\)

  c) \({1^3+2^3+\cdots+n^3}={\sum_{i=1}^n i^3}\)

  • Otázka 1) nápověda č.1.

    Jelikož se jedná o vztah pro nekonečnou posloupnost, proveďte důkaz matematickou indukcí.

  • Otázka 2a) nápověda č.1.

    Rozmyslete si, jak vypadají členy řady, a vymyslete, jak je vhodně rozšířit chytrou jedničkou (tj. výrazem typu \(\frac{A}{A}\)), abychom problém převedli na dříve dokázaný vzorec \({\sum_{i=r}^k {\dbinom{i}{r}}}=\dbinom{k+1}{r+1}\).

  • Otázka 2a) řešení

    Sumu (\( \sum_{i=1}^n {i} \)) rozepíšeme jako součet \(1+2+3+\cdots+n\). Jednotlivé sčítance pišme ve tvaru

    \[\dbinom{1}{1} + \dbinom{2}{1} + \dbinom{3}{1} + \ldots + \dbinom{n}{n},\]

    neboť pro libovolné přirozené číslo k platí, že

    \[\dbinom{k}{1} = k\]

    Sumu tedy můžeme psát pomocí kombinačních čísel ve tvaru

    \[{\sum_{i=1}^n {\dbinom{i}{1}}}\]

    Porovnáním s již dokázaným vztahem \({\sum_{i=r}^k {\dbinom{i}{r}}}=\dbinom{k+1}{r+1}\) zjistíme, že hledaná suma odpovídá položení \(r=1\). Po dosazení do této rovnosti zjišťujeme, že výsledný součet je

    \[\sum_{i=1}^n {\dbinom{i}{1}} = \dbinom{n+1}{1+1} = \frac{n(n+1)}{1 \centerdot 2} = \frac{n(n+1)}{2}\]

    Což je známý vztah pro součet aritmetické posloupnosti, ale odvozený jinou cestou.

  • Otázka 2b) nápověda č.1.

    Určete vzorec pro pro sumu \( \sum_{i=1}^n {i(i-1)} \). Poté využijte vztahu dokazovaného v části 2a).

  • Otázka 2b) nápověda č.2.

    Zadanou sumu \( \sum_{i=1}^n {i^2} \) zkuste přepsat tak, abyste využili sečtené sumy v předchozí nápovědě.

  • Otázka 2b) - nápověda č.3.

    Z dříve odvozených vztahů již součet přímo vyplývá.

  • Otázka 2b) řešení

    Celý postup řešení je obsažen v řešení tří nápověd k této otázce.

  • Otázka 2c) nápověda č.1.

    Využijte řešení předchozích částí 2a) a 2b). Sumu vhodně rozepište tak, abyste ji byli následně schopni převést na sumy kombinačních čísel analogickým postupem jako dříve u předchozích otázek.

  • Otázka 2c) nápověda č.2.

    Postupem analogickým předchozím sumám odvoďte vztah pro první, zatím neznámou, sumu.

  • Otázka 2c) nápověda č.3.

    Využijte dříve odvozených výsledků.

  • Otázka 2c) řešení

    Navážeme tam, kde skončila řešení nápověd vztahujících se k této části.

    Již dříve jsme odvodili, že platí

    \[\sum_{i=1}^n {i}=\frac{n(n+1)}{2}\] \[\sum_{i=2}^n {i(i-1)}=\frac{(n+1)(n)(n-1)}{3}\]

    a naposledy

    \[\sum_{i=3}^n {(i)(i-1)(i-2)}=\frac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)}{4}\]

    K vyřešení úlohy stačí za dané sumy dosadit v rovnosti

    \[\sum_{i=1}^n i^3 = \sum_{i=3}^n {(i)(i-1)(i-2)}+3\sum_{i=2}^n {i(i-1)}+3\sum_{i=1}^n {i} = \]

    čímž získáme

    \[=\frac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)}{4}+3\frac{(n+1)(n)(n-1)}{3}+3\frac{n(n+1)}{2}=\] \[=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\]

    Což je hledaný výsledek.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Zaslat komentář k úloze