Sbírka řešených úloh

Nekonečné součty

Úloha číslo: 1167

• Otázka 1) nápověda č.1.

  Jelikož se jedná o vztah pro nekonečnou posloupnost, proveďte důkaz matematickou indukcí.

• Otázka 1) nápověda č.1. - řešení 1. část

  Nejprve ověříme zda tvrzení platí pro první člen \({n}={r}\) :

  L: \({\sum_{i=r}^r {\dbinom{i}{r}}}={\dbinom{r}{r}}={1}\)

  P\(:{\dbinom{n+1}{r+1}}={\dbinom{r+1}{r+1}}={1}\)

  \[L=P\]

  Pro první člen zjevně tvrzení platí.

  Nyní přistupme k indukčnímu kroku. Předpokládáme, že platí

  \[{\sum_{i=r}^k {\dbinom{i}{r}}}={\dbinom{k+1}{r+1}}\]

  a snažíme se odvodit, že platí

  \[\sum_{i=r}^{k+1} {\dbinom{i}{r}}={\dbinom{k+2}{r+1}},\]

  Rovnost \(\sum_{i=r}^k {\dbinom{i}{r}}={\dbinom{k+1}{r+1}}\), o které předpokládáme, že platí, nazveme indukčním předpokladem (zkráceně IP).

  Nyní přistupme k indukci samotné a začneme s úpravou levé strany rovnosti

  \[{\sum_{i=r}^{k+1} {\dbinom{i}{r}}={\dbinom{k+2}{r+1}}},\]

  kterou rozepišme vyčleněním posledního členu (\(i=k+1\)) ze sumy jako

  \[{\sum_{i=r}^{k} {\dbinom{i}{r}}+{\dbinom{k+1}{r}}}.\]

  Nyní využijeme IP a za sumu \(\sum_{i=r}^k {\dbinom{i}{r}}\) dosadíme výraz \(\dbinom{k+1}{r+1}\), na levé straně rovnosti tedy získáváme:

  \[L:\dbinom{k+1}{r+1}+\dbinom{k+1}{r}\]

  Přičemž pro pravou stranu rovnosti platí:

  \[P:\dbinom{k+2}{r+1}\]

  Zbývá ověřit, že levá strana se skutečně rovná straně pravé, což ukážeme v následující části řešení.

• Otázka 1) nápověda č.1. - řešení 2. část

  Dokazujeme rovnost

  \[\dbinom{k+1}{r}+\dbinom{k+1}{r+1}=\dbinom{k+2}{r+1}.\]

  Zaměníme-li pro pohodlí

  \[n = k+1, \qquad m = r,\]

  budeme dokazovat rovnost

  \[\dbinom{n}{m}+\dbinom{n}{m+1}=\dbinom{n+1}{m+1},\]

  kde předpokládáme, že m a n jsou přirozená čísla a n > m.

  Budeme postupovat přímým výpočtem. Vyjdeme z definice kombinačního čísla: \[\dbinom{n}{m}=\frac{n!}{(m!)(n-m)!}\]

  a dokazovaný vztah \(\dbinom{n}{m}+\dbinom{n}{m+1}=\dbinom{n+1}{m+1}\) ověříme dosazením do obou stran rovnice.

  \[L:\frac{n!}{m!(n-m)!}+\frac{n!}{(m+1)!(n-m-1)!}\]

  \[P:\frac{(n+1)!}{(m+1)!(n-m)!}\]

  Na levé straně sečteme oba zlomky a získáme tak výraz

  \[L:\frac{n!(m+1)+n!(n-m)}{(m+1)!(n-m)!},\]

  poté čitatel roznásobíme

  \[L:\frac{n!m+n!+n!n-mn!}{(m+1)!(n-m)!}\]

  a upravíme na tvar

  \[L:\frac{n!(n+1)}{(m+1)!(n-m)!}=\frac{(n+1)!}{(m+1)!(n-m)!}.\]

  Tím je důkaz rovnosti hotov.

  Celý důkaz indukcí je tudíž také dokončen a původní tvrzení \({\sum_{i=r}^k {\dbinom{i}{r}}}=\dbinom{k+1}{r+1}\) je tak dokázáno.

  \[QED\]

• Otázka 2a) nápověda č.1.

  Rozmyslete si, jak vypadají členy řady, a vymyslete, jak je vhodně rozšířit chytrou jedničkou (tj. výrazem typu \(\frac{A}{A}\)), abychom problém převedli na dříve dokázaný vzorec \({\sum_{i=r}^k {\dbinom{i}{r}}}=\dbinom{k+1}{r+1}\).

• Otázka 2a) řešení

  Sumu (\( \sum_{i=1}^n {i} \)) rozepíšeme jako součet \(1+2+3+\cdots+n\). Jednotlivé sčítance pišme ve tvaru

  \[\dbinom{1}{1} + \dbinom{2}{1} + \dbinom{3}{1} + \ldots + \dbinom{n}{n},\]

  neboť pro libovolné přirozené číslo k platí, že

  \[\dbinom{k}{1} = k\]

  Sumu tedy můžeme psát pomocí kombinačních čísel ve tvaru

  \[{\sum_{i=1}^n {\dbinom{i}{1}}}\]

  Porovnáním s již dokázaným vztahem \({\sum_{i=r}^k {\dbinom{i}{r}}}=\dbinom{k+1}{r+1}\) zjistíme, že hledaná suma odpovídá položení \(r=1\). Po dosazení do této rovnosti zjišťujeme, že výsledný součet je

  \[\sum_{i=1}^n {\dbinom{i}{1}} = \dbinom{n+1}{1+1} = \frac{n(n+1)}{1 \centerdot 2} = \frac{n(n+1)}{2}\]

  Což je známý vztah pro součet aritmetické posloupnosti, ale odvozený jinou cestou.

• Otázka 2b) nápověda č.1.

  Určete vzorec pro pro sumu \( \sum_{i=1}^n {i(i-1)} \). Poté využijte vztahu dokazovaného v části 2a).

• Otázka 2b) nápověda č.1. - řešení

  Také členy v sumě \( \sum_{i=1}^n {i(i-1)} \) lze převést na sumu kombinačních čísel. Stačí vhodné rozšíření, neboť pro i ≥ 2 platí, že

  \[\frac{i(i-1)}{2} = \dbinom{i}{2}.\]

  Celou sumu \( \sum_{i=1}^n {i(i-1)} \) tedy rozšíříme výrazem \(\frac{2}{2}\) a získáme tak vztah

  \[2\cdot\sum_{i=1}^n {\frac{i(i-1)}{2}}\] .

  První člen sumy pro (\(i=1\)) je roven 0 a můžeme jej tedy ze sumy bez problému odečist. Pak dostáváme

  \[0+2\cdot\sum_{i=2}^n {\frac{i(i-1)}{2}} = 2\cdot\sum_{i=1}^n {\dbinom{i}{2}}\] .

  Porovnáním se vztahem \(\sum_{i=r}^k {\dbinom{i}{r}}=\dbinom{k+1}{r+1}\) zjistíme, že součet hledané sumy získáme položením \(r=2\). Dostaneme tak

  \[2\cdot\sum_{i=2}^n \dbinom{i}{2}=2\cdot\dbinom{n+1}{2+1}=2\cdot\frac{(n+1)(n)(n-1)}{3!}=\frac{(n+1)(n)(n-1)}{3}.\]

• Otázka 2b) nápověda č.2.

  Zadanou sumu \( \sum_{i=1}^n {i^2} \) zkuste přepsat tak, abyste využili sečtené sumy v předchozí nápovědě.

• Otázka 2b) - řešení

  Sumu \(\sum_{i=1}^n {i^2}\) rozepišme přičtením a odečtením jedničky na tvar

  \[\sum_{i=1}^n {(i)(i-1+1)}=\sum_{i=1}^n {(i)(i-1)+i}=\sum_{i=1}^n {(i)(i-1)}+\sum_{i=1}^n {i}\] .

  Z první sumy se dá odečíst první člen (\(i=1\)), protože je roven 0 a získáváme tak výraz:

  \[\sum_{i=2}^n {(i)(i-1)}+\sum_{i=1}^n {i}\]

• Otázka 2b) - nápověda č.3.

  Z dříve odvozených vztahů již součet přímo vyplývá.

• Otázka 2b) nápověda č.3. - řešení

  Ukázali jsme, že sumu \(\sum_{i=1}^n {i^2}\) lze rozepsat na součet

  \[\sum_{i=2}^n {(i)(i-1)}+\sum_{i=1}^n {i}\]

  Z dříve řešených otázek jsou nám známy následující vztahy:

  \[\sum_{i=1}^n {i}=\frac{n(n+1)}{2}\]

  \[\sum_{i=2}^n {(i)(i-1)}=\frac{(n+1)(n)(n-1)}{3}\]

  Za sumy dosadíme odvozené výrazy a ty sečteme:

  \[\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n)(n-1)}{3}=\frac{(n+1)(n)(2n+1)}{6}\]

• Otázka 2b) řešení

  Celý postup řešení je obsažen v řešení tří nápověd k této otázce.

• Otázka 2c) nápověda č.1.

  Využijte řešení předchozích částí 2a) a 2b). Sumu vhodně rozepište tak, abyste ji byli následně schopni převést na sumy kombinačních čísel analogickým postupem jako dříve u předchozích otázek.

• Otázka 2c) nápověda č.1. - řešení

  Sumu \(\sum_{i=1}^n i^3\) rozepišme obdobným způsobem jako dříve:

  \[\sum_{i=1}^n i^3 =\sum_{i=1}^n {(i)(i)(i)}=\sum_{i=1}^n {(i)(i-1+1)(i-2+2)}= \]

  \[=\sum_{i=1}^n {(i)(i-1)(i-2)}+3\sum_{i=1}^n {i(i-1)}+3\sum_{i=1}^n {i} \]

  a následným dečtením členů sum nulové hodnoty získáme:

  \[\sum_{i=3}^n {(i)(i-1)(i-2)}+3\sum_{i=2}^n {i(i-1)}+3\sum_{i=1}^n {i}\]

• Otázka 2c) nápověda č.2.

  Postupem analogickým předchozím sumám odvoďte vztah pro první, zatím neznámou, sumu.

• Otázka 2c) nápověda č.2. - řešení

  Sumu \(\sum_{i=3}^n {(i)(i-1)(i-2)}\) určíme analogickým postupem jako předchozí dvě.

  Vyjdeme ze vztahu, že

  \[\frac{(i)(i-1)(i-2)}{1\centerdot 2\centerdot 3} = \dbinom{i}{3}\]

  a tedy

  \[\sum_{i=3}^n {(i)(i-1)(i-2)} = = 6\sum_{i=3}^n {\frac{(i)(i-1)(i-2)}{1\centerdot 2\centerdot 3}}=\sum_{i=3}^n \dbinom{i}{3}\]

  Nyní užijeme vztah \({\sum_{i=r}^k {\dbinom{i}{r}}}=\dbinom{k+1}{r+1}\), kde položíme \(r=3 \). Po dosazení získáme:

  \[{6\sum_{i=3}^k {\dbinom{i}{3}}}=6\dbinom{n+1}{3+1}=6\dbinom{n+1}{4}=\frac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)}{4}\]

• Otázka 2c) nápověda č.3.

  Využijte dříve odvozených výsledků.

• Otázka 2c) řešení

  Navážeme tam, kde skončila řešení nápověd vztahujících se k této části.

  Již dříve jsme odvodili, že platí

  \[\sum_{i=1}^n {i}=\frac{n(n+1)}{2}\] \[\sum_{i=2}^n {i(i-1)}=\frac{(n+1)(n)(n-1)}{3}\]

  a naposledy

  \[\sum_{i=3}^n {(i)(i-1)(i-2)}=\frac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)}{4}\]

  K vyřešení úlohy stačí za dané sumy dosadit v rovnosti

  \[\sum_{i=1}^n i^3 = \sum_{i=3}^n {(i)(i-1)(i-2)}+3\sum_{i=2}^n {i(i-1)}+3\sum_{i=1}^n {i} = \]

  čímž získáme

  \[=\frac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)}{4}+3\frac{(n+1)(n)(n-1)}{3}+3\frac{n(n+1)}{2}=\] \[=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\]

  Což je hledaný výsledek.