Sbírka řešených úloh

Limita racionální funkce ve vlastním bodě mimo D_f I.

Úloha číslo: 1170

• Nápověda 1

  Dosazením \(x = 2\) se přesvědčte, zda-li se skutečně jedná o limitu mimo definiční obor. Jaký kořen určitě mají polynomy v čitateli i jmenovateli?

• Řešení nápovědy 1

  Dosaďme \(x = 2\): \[ \lim_{x\to 2} \frac{(x^2-x-2)^{20}}{(x^3-12x+16)^{10}} = \lim_{x\to 2} \frac{(2^2-2-2)^{20}}{(2^3-12{\cdot}2+16)^{10}} = \frac{0}{0} \mathrm{,} \] dostáváme neurčitý výraz \(0/0\), limitou tedy nemůže být přímo funkční hodnota v daném bodě, protože zde funkce není definována.

  Neboť jsou funkční hodnoty polynomů v čitateli i jmenovateli v bodě \(x = 2\) nulové, je \(x = 2\) jejich kořenem.

• Nápověda 2

  Zjistili jsme, že \(x=2\) je kořenem polynomu v čitateli i jmenovateli. Oba polynomy lze rozložit v součin dvojčlenů. Proveďte.

• Řešení nápovědy 2

  Jedním kořenem polynomu v čitateli je \(x_1 = 2\). Polynom \(x^2 - x - 2\) je normovaný kvadratický. Dle jednoho z Vietových vzorců můžeme dopočítat druhý kořen: \[-2 = 2\cdot x_2 \qquad \Rightarrow \qquad x_2 = -1\] Polynom v čitateli tedy lze psát jako: \[x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)\mathrm{.}\]

  ---

  Jedním kořenem polynomu ve jmenovateli je \(x_1 = 2\). Polynom \(x^3 - 12x + 16\) tedy vydělíme dvojčlenem \((x-2)\): \[(x^3 - 12x + 16):(x-2) = x^2 + 2x - 8\mathrm{.}\] Výsledný polynom je normovaný kvadratický trojčlen, jehož kořeny můžeme nalézt pomocí Vietových vzorců: \[x_2\cdot x_3 = -8\] \[-(x_2 + x_3) = 2\]

  Řešením těchto rovnic získáme kořen \(x_2 = 2\) a \(x_3 = -4\).

  Polynom ve jmenovateli tedy lze psát jako:

  \[x^3 - 12x + 16 = (x-2)(x-2)(x+4)\mathrm{.}\]

• Nápověda 3

  V limitě nahraďte polynomy \(x^2 - x - 2\) a \(x^3 - 12x + 16\) součinem dvojčlenů, které jsme postupným rozkládáním získali. Dále udané mocnění proveďte na jednotlivé dvojčleny.

• Řešení nápovědy 3

  Mocněné polynomy nahradíme součinem dvojčlenů a naznačíme udané mocnění: \[ \lim_{x\to 2} \frac{(x^2-x-2)^{20}}{(x^3-12x+16)^{10}}= \lim_{x\to 2} \frac{\left((x-2)(x+1)\right)^{20}}{\left((x-2)^2 (x+4)\right)^{10}} = \] \[ =\lim_{x\to 2} \frac{(x-2)^{20}(x+1)^{20}}{(x-2)^{20} (x+4)^{10}} \mathrm{.} \]

• Nápověda 4

  Neboť se k číslu 2 „pouze blížíme“, můžeme mocninu dvojčlenů \((x-2)^{20}\) vykrátit. \[ \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)^{20}(x+1)^{20}}{(x-2)^{20} (x+4)^{10}} = \lim_{x\to 2} \frac{(x+1)^{20}}{ (x+4)^{10}} \mathrm{.} \] Zkusme nyní do takto upravené limity dosadit \(x = 2\).

  Poznámka: Přesné odůvodnění, proč můžeme ve výrazu krátit, je, že výrazy před a po zkrácení jsou si rovny na nějakém prstencovém okolí dvojky, např. \((1{,}3)\setminus\{2\}\), a hodnota limity závisí pouze na hodnotách výrazu na tomto prstencovém okolí, nikoliv na hodnotě v bodě 2.

• Řešení nápovědy 4

  Vykrácením a dosazením dostáváme výsledek: \[ \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)^{20}(x+1)^{20}}{(x-2)^{20} (x+4)^{10}} = \lim_{x\to 2} \frac{(x+1)^{20}}{ (x+4)^{10}} = \frac{3^{20}}{ 6^{10}} = \frac{3^{20}}{ 3^{10}\cdot2^{10}} = {\left(\frac{3}{2}\right)}^{10} \mathrm{.} \]

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Dosazením \(x = 2\): \[ \lim_{x\to 2} \frac{(x^2-x-2)^{20}}{(x^3-12x+16)^{10}} = \lim_{x\to 2} \frac{(2^2-2-2)^{20}}{(2^3-12{\cdot}2+16)^{10}} = \lim_{x\to 2}\frac{0}{0} \]

  dostáváme neurčitý výraz. Jedná se tedy skutečně o limitu mimo definiční obor.

  Zjistili jsme ale, že kořenem mocněných polynomů v čitateli i jmenovateli musí být \(x_1 = 2\).

  ---

  Neboť polynom v čitateli lze rozložit na: \[x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)\] a polynom ve jmenovateli na: \[x^3 - 12x + 16 = (x-2)(x-2)(x+4)\mathrm{,}\] lze limitu přepsat do tvaru:

  \[ \lim_{x\to 2} \frac{(x^2-x-2)^{20}}{(x^3-12x+16)^{10}}= \lim_{x\to 2} \frac{\left((x-2)(x+1)\right)^{20}}{\left((x-2)^2 (x+4)\right)^{10}} = \] \[ =\lim_{x\to 2} \frac{(x-2)^{20}(x+1)^{20}}{(x-2)^{20} (x+4)^{10}} \mathrm{.} \] Vykrácením a dosazením dostáváme výsledek: \[ \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)^{20}(x+1)^{20}}{(x-2)^{20} (x+4)^{10}} = \lim_{x\to 2} \frac{(x+1)^{20}}{ (x+4)^{10}} = \frac{3^{20}}{ 6^{10}} = \frac{3^{20}}{ 3^{10}\cdot2^{10}} = {\left(\frac{3}{2}\right)}^{10} \mathrm{.} \]

• Výsledek

  \[ \lim_{x\to 2} \frac{(x^2-x-2)^{20}}{(x^3-12x+16)^{10}} = {\left(\frac{3}{2}\right)}^{10} \mathrm{.} \]