Homogenní rovnice
Úloha číslo: 1851
Zjistěte, zda-li je \(y'=-\frac{x+y}{x}\) homogenní diferenciální rovnicí. Následně nalezněte její obecné řešení na \(\mathbb{R}/\{0\}\).
Homogenní rovnice
Identifikace
Prvním krokem na cestě k řešení homogenní diferenciální rovnice je mnohdy její identifikace. Poznáme ji tak, že dosadíme-li do pravé strany této rovnice ve tvaru \(y' = f(x,y)\) za \(x\) a za \(y\) jejich \(t\)-násobky \(tx\) a \(ty\), přičemž \(t > 0\), zůstane hodnota pravé strany nezměněna. Jinými slovy
\[f(tx,ty) = f(x,y),\, t > 0 \,.\]Můžeme poté rovnou psát, že \(y'\) je funkcí \(\frac{y}{x}\), nebo-li
\[y' = f\left(\frac{y}{x}\right)\,.\]Vidíme-li ovšem v zadané rovnici přímo závislost \(y'\) na \(\frac{y}{x}\), pak můžeme rovnou říci, že se jedná o homogenní diferenciální rovnici a tento krok přeskakujeme.
Například diferenciální rovnice \(y'=\frac{xy}{x^2+y^2}\) je homogenní, neboť dosadíme-li \(tx\) za \(x\) a \(ty\) za \(y\) na pravé straně rovnice, získáme
\[f(tx,ty)=\frac{txty}{(tx)^2+(ty)^2}= \frac{txty}{t^2(x^2+y^2)} =\frac{xy}{(x^2+y^2)}=f(x,y)\,.\]Mohli jsme ale přímo vytknout v čitateli i jmenovateli \(x^2\), čímž bychom získali
\[y'=\frac{x^2\frac{y}{x}}{x^2(1+\frac{y^2}{x^2})}=\frac{\frac{y}{x}}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\,,\]kde je patrné na první pohled, že \(y' = f\left(\frac{y}{x}\right)\), a že se tedy jedná o homogenní diferenciální rovnici.
Řešení vhodnou substitucí
Již tedy víme, že před sebou máme homogenní diferenciální rovnici. Pro její řešení zavedeme substituci
\[u(x)=\frac{y(x)}{x}\]Poté lze funkci \(y(x)\) vyjádřit jako
\[y(x)=u(x)x\]a s tím spojenou derivaci \(y'(x)\) pak
\[y'(x)=u'(x)x+u(x) \,.\]Řešená rovnice \(y' = f\left(\frac{y}{x}\right)\) tak celkově nabude tvaru
\[u'x+u=f(u)\,,\]kdy \(f(u)\) reprezentuje pravou stranu původní rovnice po zavedení substituce.
Zjevně jsme získali diferenciální rovnici, jíž pro \(f(u)\ne u\) a \(x \ne 0\) umíme řešit separací proměnných (viz úloha Separace proměnných)
\[\frac{u'}{f(u)-u}=\frac{1}{x} \,.\]Výše uvedený vztah můžeme chápat jako obecný vzorec pro řešení homogenních diferenciálních rovnic. Mnohdy je však snazší k \(u(x)\) dojít nyní osvojeným postupem.
Od \(u(x)\) konečně přejdeme pomocí užitého substitučního vztahu zpět k hledané funkci \(y(x)\), konkrétně
\[y(x)=u(x)x \,.\]Homogenní rovnice?
V souladu s teorií nejprve rozhodněte, zda-li se jedná o homogení diferenciální rovnici.
Zavedení substituce
Pomocí substituce převdte řešenou homogenní rovnici na rovnici se separovanými proměnými.
Integrace
Získanou rovnici nyní vyřešme pomocí přímé integrace.
Zpětná substituce
Pomocí zpětné substituce přejděte zpět k hledané funkci.
Řešení
Zadaná diferenciální rovnice je zjevně homogenní, neboť po dosazení \(tx\) za \(x\) a \(ty\) za \(y\) získáváme
\[f(tx,ty) =-\frac{tx+ty}{tx} = -\frac{t(x+y)}{tx}=-\frac{x+y}{x} = f(x,y),\, t > 0 \,.\]Výraz na pravé straně rovnice nejprve upravme pro snazší zavedení substituce \(u(x)=\frac{y}{x}\) vytknutím \(x\) v čitateli i jmenovateli zlomku
\[y'=-1-\frac{y}{x}\,.\]Po zavedení substituce na pravé straně rovnice získáme kýženou funkci
\[f(u)=-1-u\,.\]Předpis pro \(f(u)\) následně dosadíme do vzorce \(\frac{u'}{f(u)-u}=\frac{1}{x}\), získáme tak
\[\begin{align*} \frac{u'}{-1-u-u}&=\frac{1}{x} \\ \frac{u'}{-1-2u}&=\frac{1}{x} \,. \end{align*}\]Což je kýžená rovnice se separovanými proměnnými.
Obě strany rovnice dále vynásobíme minus jedničkou a integrujeme
\[\int\frac{\mathrm{d}u}{1+2u}=-\int \frac{1}{x} \mathrm{d} x \,.\]Integrál na levé straně řešíme zavedením substituce \(w=1+2u\), kde \(\mathrm{d} w=2du\). Po dosazení tak získáváme
\[\begin{align*} \frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d} w}{w} &=-\int \frac{1}{x} \mathrm{d} x \\ \frac{1}{2}\ln|w| &=-\ln|x|+C \end{align*}\]po zpětné substituci pak
\[\frac{1}{2}\ln|1+2u| =-\ln|x|+C\,.\]Přeznačíme \(K=\mathrm{e}^C\) a dle pravidel pro počítání s logaritmy rovnici upravíme následujícím způsobem
\[\ln \sqrt{|1+2u|}=\ln \frac{K}{|x|}\,.\]Z rovnosti logaritmů plyne rovnost jejich argumentů
\[\sqrt{|1+2u|}= \frac{K}{|x|}\,.\]Abychom získali \(u\), nejprve obě strany rovnice umocníme na druhou
\[\begin{align*} |1+2u|&= \left(\frac{K}{|x|}\right)^2 \\ 1+2u&= \frac{\pm K^2}{x^2}\,. \end{align*}\]Přeznačíme-li následně \(\pm K^2 = L\), můžeme odstranit absolutní hodnoty na obou stranách rovnice, aniž bychom tím porušili původní rovnost
\[1+2u= \frac{L}{x^2}\Rightarrow u= \frac{1}{2}\left(\frac{L}{x^2}-1\right)\,.\]Hledanou funkci \(y(x)\) konečně vyjádříme za pomoci získané funkce \(u(x)\) z užitého substitučního vztahu jako
\[\begin{align*} y(x)&=xu(x)\\ y(x)&=x \frac{1}{2}\left(\frac{L}{x^2}-1\right)\,. \end{align*}\]
