Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Homogenní rovnice

Úloha číslo: 1851

Zjistěte, zda-li je \(y'=-\frac{x+y}{x}\) homogenní diferenciální rovnicí. Následně nalezněte její obecné řešení na \(\mathbb{R}/\{0\}\).

  • Homogenní rovnice

    Identifikace

    Prvním krokem na cestě k řešení homogenní diferenciální rovnice je mnohdy její identifikace. Poznáme ji tak, že dosadíme-li do pravé strany této rovnice ve tvaru \(y' = f(x,y)\) za \(x\) a za \(y\) jejich \(t\)-násobky \(tx\) a \(ty\), přičemž \(t > 0\), zůstane hodnota pravé strany nezměněna. Jinými slovy

    \[f(tx,ty) = f(x,y),\, t > 0 \,.\]

    Můžeme poté rovnou psát, že \(y'\) je funkcí \(\frac{y}{x}\), nebo-li

    \[y' = f\left(\frac{y}{x}\right)\,.\]

    Vidíme-li ovšem v zadané rovnici přímo závislost \(y'\) na \(\frac{y}{x}\), pak můžeme rovnou říci, že se jedná o homogenní diferenciální rovnici a tento krok přeskakujeme.

    Například diferenciální rovnice \(y'=\frac{xy}{x^2+y^2}\) je homogenní, neboť dosadíme-li \(tx\) za \(x\) a \(ty\) za \(y\) na pravé straně rovnice, získáme

    \[f(tx,ty)=\frac{txty}{(tx)^2+(ty)^2}= \frac{txty}{t^2(x^2+y^2)} =\frac{xy}{(x^2+y^2)}=f(x,y)\,.\]

    Mohli jsme ale přímo vytknout v čitateli i jmenovateli \(x^2\), čímž bychom získali

    \[y'=\frac{x^2\frac{y}{x}}{x^2(1+\frac{y^2}{x^2})}=\frac{\frac{y}{x}}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\,,\]

    kde je patrné na první pohled, že \(y' = f\left(\frac{y}{x}\right)\), a že se tedy jedná o homogenní diferenciální rovnici.

    Řešení vhodnou substitucí

    Již tedy víme, že před sebou máme homogenní diferenciální rovnici. Pro její řešení zavedeme substituci

    \[u(x)=\frac{y(x)}{x}\]

    Poté lze funkci \(y(x)\) vyjádřit jako

    \[y(x)=u(x)x\]

    a s tím spojenou derivaci \(y'(x)\) pak

    \[y'(x)=u'(x)x+u(x) \,.\]

    Řešená rovnice \(y' = f\left(\frac{y}{x}\right)\) tak celkově nabude tvaru

    \[u'x+u=f(u)\,,\]

    kdy \(f(u)\) reprezentuje pravou stranu původní rovnice po zavedení substituce.

    Zjevně jsme získali diferenciální rovnici, jíž pro \(f(u)\ne u\) a \(x \ne 0\) umíme řešit separací proměnných (viz úloha Separace proměnných)

    \[\frac{u'}{f(u)-u}=\frac{1}{x} \,.\]

    Výše uvedený vztah můžeme chápat jako obecný vzorec pro řešení homogenních diferenciálních rovnic. Mnohdy je však snazší k \(u(x)\) dojít nyní osvojeným postupem.

    Od \(u(x)\) konečně přejdeme pomocí užitého substitučního vztahu zpět k hledané funkci \(y(x)\), konkrétně

    \[y(x)=u(x)x \,.\]
  • Homogenní rovnice?

    V souladu s teorií nejprve rozhodněte, zda-li se jedná o homogení diferenciální rovnici.

  • Zavedení substituce

    Pomocí substituce převdte řešenou homogenní rovnici na rovnici se separovanými proměnými.

  • Integrace

    Získanou rovnici nyní vyřešme pomocí přímé integrace.

  • Zpětná substituce

    Pomocí zpětné substituce přejděte zpět k hledané funkci.

  • Řešení

    Zadaná diferenciální rovnice je zjevně homogenní, neboť po dosazení \(tx\) za \(x\) a \(ty\) za \(y\) získáváme

    \[f(tx,ty) =-\frac{tx+ty}{tx} = -\frac{t(x+y)}{tx}=-\frac{x+y}{x} = f(x,y),\, t > 0 \,.\]

    Výraz na pravé straně rovnice nejprve upravme pro snazší zavedení substituce \(u(x)=\frac{y}{x}\) vytknutím \(x\) v čitateli i jmenovateli zlomku

    \[y'=-1-\frac{y}{x}\,.\]

    Po zavedení substituce na pravé straně rovnice získáme kýženou funkci

    \[f(u)=-1-u\,.\]

    Předpis pro \(f(u)\) následně dosadíme do vzorce \(\frac{u'}{f(u)-u}=\frac{1}{x}\), získáme tak

    \[\begin{align*} \frac{u'}{-1-u-u}&=\frac{1}{x} \\ \frac{u'}{-1-2u}&=\frac{1}{x} \,. \end{align*}\]

    Což je kýžená rovnice se separovanými proměnnými.

    Obě strany rovnice dále vynásobíme minus jedničkou a integrujeme

    \[\int\frac{\mathrm{d}u}{1+2u}=-\int \frac{1}{x} \mathrm{d} x \,.\]

    Integrál na levé straně řešíme zavedením substituce \(w=1+2u\), kde \(\mathrm{d} w=2du\). Po dosazení tak získáváme

    \[\begin{align*} \frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d} w}{w} &=-\int \frac{1}{x} \mathrm{d} x \\ \frac{1}{2}\ln|w| &=-\ln|x|+C \end{align*}\]

    po zpětné substituci pak

    \[\frac{1}{2}\ln|1+2u| =-\ln|x|+C\,.\]

    Přeznačíme \(K=\mathrm{e}^C\) a dle pravidel pro počítání s logaritmy rovnici upravíme následujícím způsobem

    \[\ln \sqrt{|1+2u|}=\ln \frac{K}{|x|}\,.\]

    Z rovnosti logaritmů plyne rovnost jejich argumentů

    \[\sqrt{|1+2u|}= \frac{K}{|x|}\,.\]

    Abychom získali \(u\), nejprve obě strany rovnice umocníme na druhou

    \[\begin{align*} |1+2u|&= \left(\frac{K}{|x|}\right)^2 \\ 1+2u&= \frac{\pm K^2}{x^2}\,. \end{align*}\]

    Přeznačíme-li následně \(\pm K^2 = L\), můžeme odstranit absolutní hodnoty na obou stranách rovnice, aniž bychom tím porušili původní rovnost

    \[1+2u= \frac{L}{x^2}\Rightarrow u= \frac{1}{2}\left(\frac{L}{x^2}-1\right)\,.\]

    Hledanou funkci \(y(x)\) konečně vyjádříme za pomoci získané funkce \(u(x)\) z užitého substitučního vztahu jako

    \[\begin{align*} y(x)&=xu(x)\\ y(x)&=x \frac{1}{2}\left(\frac{L}{x^2}-1\right)\,. \end{align*}\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze