Limita rekurentně zadané posloupnosti III
Úloha číslo: 876
Rozhodněte, zda existuje nebo neexistuje limita posloupnosti zadané rekurentně vztahy
\[x_1 = a, \ x_2 = b, \qquad x_{n+2} = \frac{x_{n}+x_{n+1}}{2}\]a pokud existuje, určete ji!
Návod
Ukážeme, jak odvodit vzorec pro n-tý člen lineárně rekurentně zadané posloupnosti. Nechť
\[x_{n+k} = A_1x_{n+k-1} + A_2x_{n+k-2} + \ldots + A_kx_n.\]Nech dále x0, ..., xk-1 jsou zadané konstanty (reálné či komplexní). Potom se sestrojí tzv. charakteristická rovnice ve tvaru
\[\lambda^k = A_1\lambda^{k-1} + A_2\lambda^{k-2} + \ldots + A_k\]Nechť má tato posloupnost různé kořeny λ1, ..., λk (obecně komplexní). Potom lze rekurentní vzorec najít ve tvaru
\[x_n = c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + \ldots + c_k\lambda_k^n,\]kde konstanty c1, ..., ck se určí ze soustavy rovnic určené počátečními podmínkami (ze zadaných čísel x0, ..., xk-1).
Důkaz tohoto tvrzení je poměrně obtížný. Existuje i obecnější verze, která počítá s vícenásobnými kořeny charakteristické rovnice.
Dodejme, že pokud jste proti používání nedokázaných metod, obvykle lze správnost takto odvozeného vzorce ověřit matematickou indukcí.
Řešení
Aplikujeme výše uvedený návod na naší konkrétní situaci: sestavená charakteristická rovnice má tvar
\[\lambda^2-\frac{1}{2}\lambda-\frac{1}{2} = 0,\]její kořeny jsou
\[\lambda_1 = 1, \ \lambda_2 = -\frac{1}{2},\]vzorec pro n-tý člen je tedy potřeba hledat ve tvaru
\[x_n = c_1{\cdot} 1^n + c_2\cdot \frac{(-1)^n}{2^n}.\]Dosazením x1 = a a x2 = b dostaneme soustavu rovnic
\[a = c_1 - \frac{c_2}{2},\] \[b = c_1 + \frac{c_2}{4},\]která má řešení
\[c_1 = \frac{a+2b}{3}, \quad c_2 = 2(c_1-a) = \frac{-4a+4b}{3}.\]Pak máme
\[\lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} \left(c_1 + c_2\cdot \frac{(-1)^n}{2^n}\right) = c_1 = \frac{a+2b}{3}.\]
