Lineární rovnice
Úloha číslo: 1852
Nalezněte obecné řešení lineární diferenciální rovnice \(y'-y\cos x =\cos x\).
Lineární rovnice
Názvosloví
Rovnici \(y'+a(x)y=b(x)\) zveme homogenní, jestliže \(b(x)\equiv 0\). V opačném případě hovoříme o rovnici nehomogenní nebo také o rovnici s pravou stranou.
Poznámka: Znak \(\equiv\), volně překládáme jako identicky rovno, v tomto kontextu užíváme pro zdůraznění skutečnosti, že je hodnota funkce \(b(x)\) na uvažovaném intervalu konstantně nulová, nezávisle na volbě \(x\).
Nutno poznamenat, že název homogenní má ve smyslu lineárních diferenciálních rovnic zcela odlišný význam než v případě homogenních diferenciálních rovnic (úloha Homogenní rovnice). Vyvarujme se proto jejich záměně či případnému ztotožnění!
Homogenní rovnice
Zaměřme se nejprve na řešení homogenní rovnice
\[y'+a(x)y=0 \,.\]Převedeme-li člen \(a(x)y\) na pravou stranu, obdržíme
\[y'=-a(x)y \,,\]tedy rovnici se separovanými proměnnými (Separace proměnných). Povšimněme si nejprve, že \(y=0\) je vždy triviálním řešením této rovnice. Uvážíme proto pouze ostatní případy, kdy \(y\ne 0\) a rovnici \(y\) vydělíme
\[\frac{y'}{y}=-a(x) \,.\]Lze-li dále rovnici integrovat, získáme
\[\begin{align*} \int\frac{\mathrm{d} y}{y}&=-\int a(x) \mathrm{d} x \\ \ln{(Ky)}&=-\int{a(x)}\mathrm{d} x;\, K\in \mathbb{R};\,Ky > 0 \,. \end{align*}\]Následným odlogaritmováním pak obdržíme
\[\begin{align*} Ky&=\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x};\, K=\frac{1}{C} \\ y&=C\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x} \,. \end{align*}\]Poznámka: Získaný výsledný vzorec pro obecné řešení homogenní rovnice bývá v literatuře také zván obecný integrál homogenní rovnice.
Z podmínky pro \(K\) plyne \(C\in \mathbb{R} / \{0\}\). Pokud ovšem uvažovanou množinu rozšíříme o možnost \(C = 0\), zahrneme do výsledného vzorce i zmiňované triviální řešení \[y=0\] .
Nyní již máme k dispozici obecné řešení homogenní rovnice, pro jednoduchost, \(y_h=Cy_0\), pak \(y_0= ^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x}\).
Rovnice s pravou stranou
Označme dále \(y_p\) libovolné jedno řešení vyhovující rovnici s pravou stranou
\[y'+a(x)y=b(x)\,.\]K nalezení tohoto partikulárního řešení \(y_p\) využijeme metodu zvanou variace konstant, spočívající v nahrazení konstanty \(C\) ze vztahu pro \(y_h\) funkcí \(C(x)\), jinými slovy
\[y_p=C(x)y_0 =C(x)\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x} \,.\]Abychom získali konkrétní podobu funkce \(C(x)\), musíme nejprve vyjádřit derivaci
\[y'_p=C'(x)\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x}-C(x)a(x)\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x} \,.\]Dosadíme-li následně \(y_p\) a \(y'_p\) do řešené nehomogenní rovnice \(y'+a(x)y=b(x)\), získáme
\[\begin{align*} C'(x)\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x}-C(x)a(x)\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x}+C(x)a(x)\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x}&=b(x)\\ C'(x)\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x}&=b(x)\,. \end{align*}\]Povšimněme si, že členy s \(C(x)\) se odečetly, což lze považovat za kontrolu správnosti při řešení konkrétních lineárních rovnic.
Výsledkem je diferenciální rovnice vedoucí na přímou integraci. Nejprve osamostatníme \( C'(x) \) na straně levé
\[C'(x)=b(x)\mathrm{e}^{\int{a(x)}\mathrm{d} x} \,.\]Následně přímou integrací určíme funkci
\[C(x)=\int b(x)\mathrm{e}^{\int{a(x)}\mathrm{d} x} \mathrm{d} x \,,\]a s její pomocí pak konečnou podobu partikulárního řešení rovnice s pravou stranou
\[y_p=\int b(x)\mathrm{e}^{\int{a(x)}\mathrm{d} x} \mathrm{d} x \cdot \mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x} \,.\]Obecné řešení lineární rovnice
Nyní máme k dispozici jak obecné řešení homogenní rovnice \(y_h\), tak i partikulární řešení rovnice s pravou stranou \(y_p\). Uvažme dále součet \(y=y_h+y_p\). Dosadíme-li takto vyjádřené \(y\) do řešené rovnice s pravou stranou, získáme
\[(y_h+y_p)'+a(x)(y_h+y_p)=b(x)\,,\]s využitím věty o derivaci součtu pak
\[y'_h+y'_p+a(x)y_h+a(x)y_p=b(x)\,.\]Vhodným přeuspořádáním a uzávorkováním levé strany, konečně získáme
\[\bigl(y'_h+a(x)y_h\bigr)+\bigl(y'_p+a(x)y_p\bigr)=b(x)\]Dále využijeme skutečnosti, že \(y_h\) řeší homogenní rovnici, nebo-li \(y'_h+a(x)y_h=0\), a \(y_p\) pak rovnici s pravou stranou, nebo-li \(y'_p+a(x)y_p = b(x)\). Celkově tak obdržíme
\[(0)+\bigl(b\bigl)(x))=b(x)\,.\]To ale znamená, že námi navrhované \(y = y_h + y_p\) je opět řešením rovnice s pravou stranou a vzhledem k libovůli v konstantě \(C\) se ve skutečnosti jedná přímo o řešení obecné.
S přihlédnutím k dříve odvozeným vztahům, tak pro obecné řešení rovnice s pravou stranou \(y\) plyne vztah
\[\begin{align*} y &= y_h + y_p\\ y &= Cy_0 + C(x)y_0 \\ y &=C\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x}+\int b(x)\mathrm{e}^{\int{a(x)}\mathrm{d} x} \mathrm{d} x \cdot \mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x} \,. \end{align*}\]Získaný výsledný vzorec pro obecné řešení nehomogenní rovnice bývá v literatuře také zván obecný integrál nehomogenní rovnice.
Při řešení lineárních diferenciálních rovnic však raději upřednostněme nyní osvojený postup před memorováním právě získaných vzorců.
Homogenní rovnice
Pomocí separace proměnných nejprve nalezněte řešení homogenní rovnice.
Řešení rovnice s pravou stranou
Pomocí získaného řešení homogenní rovnice vyjádřete řešení rovnice s pravou stranou.
Řešení
V souladu s osvojeným postupem nejprve určíme pomocí separace proměnných obecné řešení homogenní rovnice
\(y'-y\cos x =0 \,.\)Člen \(y \cos x\) převedeme na pravou stranu a pro \(y\ne 0\) rovnici dělíme \(y\), získáme tak
\[\frac{y'}{y}=cos{x} \,.\]Funkce na obou stranách rovnice jsou spojité, rovnici proto můžeme integrovat
\[\int\frac{\mathrm{d} y}{y}=\int \cos{x}\mathrm{d} x \,,\]nebo-li
\[\ln(Ky)= \sin{x} ;\,Ky>0 \,.\]Po následném odlogaritmování pak obdržíme
\[\begin{align*} Ky &= \mathrm{e}^{\sin{x}}\\ y_h &= C\mathrm{e}^{\sin{x}};\, C=\frac{1}{K} \,. \end{align*}\]Ze získaného obecného řešení homogenní rovnice \(y_h\) následně za pomoci variace konstant vyjádříme partikulární řešení rovnice s pravou stranou
\[y_p= C(x)\mathrm{e}^{\sin{x}}\]a s tím spojenou derivaci
\[y'_p= C'(x)\mathrm{e}^{\sin{x}}+\cos xC(x)\mathrm{e}^{\sin{x}} \,.\]Pro konkrétní podobu funkce \(C(x)\) dosadíme \(y_p\) a \(y'_p\) do řešené rovnice \(y'-y\cos x =\cos x\), získáme tak
\[C'(x)\mathrm{e}^{\sin{x}}+\cos xC(x)\mathrm{e}^{\sin{x}} -\cos x C(x)\mathrm{e}^{\sin{x}} =\cos x \,.\]V souladu s obecným postupem se členy s \(C(x)\) odečtou.
\[\begin{align*} C'(x)\mathrm{e}^{\sin{x}} &=\cos x\\ C'(x) &=\cos x \mathrm{e}^{-\sin{x}}\,. \end{align*}\]Získáme tak diferenciální rovnici se spojitou funkcí na pravé straně, vedoucí na přímou integraci
\[C(x)=\int\cos x \mathrm{e}^{-\sin{x}}\mathrm{d} x \,.\]Pro řešení integrálu zavedeme substituci \(w=-sin x\), kde \(\mathrm{d} w = -cos x \mathrm{d} x\). Celkově tak získáváme
\[\begin{align*} C(x) &=-\int \mathrm{e}^{w}\mathrm{d} w\\ C(x) &=- \mathrm{e}^{w}+L;\, L\in \mathbb{R}\,. \end{align*}\]Protože hledáme jedno konkrétní řešení rovnice s pravou stranou, volíme \(L=0\). Nebo-li
\[C(x)=- \mathrm{e}^{w}\,,\]po zpětné substituci pak
\[C(x)=-\mathrm{e}^{-\sin x}\,.\]Skrze \(C(x)\) ze vztahu \(y_p= C(x)\mathrm{e}^{\sin{x}}\) následně vyjádříme partikulární řešení rovnice s pravou stranou
\[\begin{align*} y_p &= - \mathrm{e}^{-\sin x}\mathrm{e}^{\sin{x}}\\ y_p &= - 1\,, \end{align*}\]a za pomoci \(y_p\) ze vztahu \(y=y_p+y_h\) konečně i hledané obecné řešení nehomogenní rovnice
\[y= - 1+C\mathrm{e}^{\sin{x}} \,.\]
