Sbírka řešených úloh

Věta o aritmetice limit pro posloupnosti

Úloha číslo: 693

• Komentář k úloze

  Věta o aritmetice limit je jedna ze základních vět pro výpočet limit. Používá se téměř v každém příkladě.

  Spíše než znát do detailu veškeré kroky důkazu je důležité větu znát a porozumět, za jakých okolností a jakým způsobem ji lze použít.

  Důkaz zde provádíme spíše pro zájemce o matematickou analýzu. Rozebíráme přitom (téměř) všechny možnosti také proto, že v mnoha učebnicích matematické analýzy jsou provedeny pouze vybrané části důkazu a zbytek je „odbyt“ tvrzením, že se dokáže „analogicky“.

• Řešení – věta o limitě součtu (nevlastní limity)

  Dokazujeme tvrzení, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_n + b_n) \ = \ \lim_{{\small n\to\infty}} \ a_n + \lim_{{\small n\to\infty}} \ b_n\tag{1}\]

  kdykoliv má pravá strana smysl (podle definic v zadání).

  V této části řešení posoudíme případy, kdy je jedna z limit nebo obě limity na pravé staně nevlastní. Budeme postupovat rozborem případů.

  Ještě předtím krátkou poznámku. Rozbor všech případů se zdá být dlouhý. Všechny případy ale mají velmi podobné schéma.

  (a) Je-li jedna z limit na pravé straně rovnice (1) rovna +∞ a druhá –∞, potom výraz na pravé straně není definován, a tudíž není co dokazovat.

  (b) Jsou-li obě limity na pravé straně rovnice (1) rovny +∞, potom (podle definice 5 v poznámce v zadání úlohy) dostáváme, že pravá strana je také rovna +∞. Chceme dokázat, že témuž je rovna strana levá. To jest, předpokládáme, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ a_n \ = \ +\infty, \qquad \lim_{{\small n\to\infty}} \ b_n \ = \ +\infty,\]

  a chceme dokázat, že z toho vyplývá také rovnost

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_n+b_n) \ = \ +\infty.\]

  Tuto rovnost budeme dokazovat pomocí definice nevlastní limity. Chceme tedy dokázat, že pro libovolně zvolené reálné číslo K jsou všechny členy posloupnosti {a_n + b_n} od nějakého indexu n₀ počínaje větší než K.

  Přitom podle předpokladů víme, že

  • limita posloupnosti {a_n} je +∞, tudíž existuje index n₁, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {a_n} větší než K,

  • limita posloupnosti {b_n} je +∞, tudíž existuje index n₂, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {b_n} větší než 0.

  Tudíž, označíme-li jako n₀ větší z čísel n₁ a n₂, dostáváme, že pro n > n₀ platí

  \[a_n + b_n \ > \ K + 0 \ = \ K,\]

  tedy to, co jsme chtěli dokázat.

  (c) Jsou-li obě limity na pravé straně rovnice (1) rovny –∞, potom (podle definice 8 v poznámce v zadání úlohy) dostáváme, že pravá strana je také rovna –∞. Chceme dokázat, že témuž je rovna strana levá.

  Předpokládáme tedy, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ a_n \ = \ -\infty, \qquad \lim_{{\small n\to\infty}} \ b_n \ = \ -\infty,\]

  a chceme dokázat, že z toho vyplývá také rovnost

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_n+b_n) \ = \ -\infty.\]

  Tuto rovnost budeme dokazovat pomocí definice nevlastní limity. Chceme tedy dokázat, že pro libovolně zvolené reálné číslo K jsou všechny členy posloupnosti {a_n + b_n} od nějakého indexu n₀ počínaje menší než K.

  Postupujeme přitom zcela analogicky jako v předchozí části (b).

  Podle předpokladů víme, že

  • limita posloupnosti {a_n} je –∞, tudíž existuje index n₁, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {a_n} menší než K,

  • limita posloupnosti {b_n} je –∞, tudíž existuje index n₂, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {b_n} menší než 0.

  Tudíž, označíme-li jako n₀ větší z čísel n₁ a n₂, dostáváme, že pro n > n₀ platí

  \[a_n + b_n \ < \ K + 0 \ = \ K,\]

  tedy to, co jsme chtěli dokázat.

  (d) Nakonec předpokládejme, že jedna z limit je nevlastní a druhá z limit je vlastní. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že limita posloupnosti {a_n} je nevlastní, tj. buď +∞, resp. –∞, a limita posloupnosti {b_n} je vlastní, tj. rovna nějakému reálnému číslu c. Pravá strana je tedy také rovna ∞, resp. –∞ (podle pravidla 3, resp. pravidla 6 v poznámkách v zadání úlohy).

  (Druhý případ, kdy by limita posloupnosti {a_n} byla vlastní a limita posloupnosti {b_n} byla nevlastní, by se totiž dokázal slovo od slova stejně, pouze bychom všude namísto {a_n} psali {b_n} a naopak, pouze namísto pravidla 3, resp. 6 by se užilo pravidlo 4, resp. 7.)

  Předpokládejme tedy, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ a_n = +\infty, \qquad \textrm{resp.} \qquad \lim_{{\small n\to\infty}} \ a_n = -\infty,\]

  a

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ b_n = c\]

  kde c je nějaké reálné číslo. Chceme dokázat, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_n+b_n) = +\infty, \qquad \textrm{resp.} \qquad \lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_n+b_n) = -\infty,\]

  tj. „témuž nekonečnu“, kterému je rovna lim a_n.

  Stejně jako ve všech případech výše, tuto rovnost budeme dokazovat pomocí definice nevlastní limity. Chceme tedy dokázat, že pro libovolně zvolené reálné číslo K jsou všechny členy posloupnosti {a_n + b_n} od nějakého indexu n₀ počínaje větší, resp. menší než K.

  Přitom podle předpokladů víme, že

  • limita posloupnosti {b_n} je rovna reálnému číslu c, tudíž pro libovolně zvolené ε existuje index n₁, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {b_n} větší než (c – ε), resp. menší než (c + ε).

  • limita posloupnosti {a_n} je +∞, resp. –∞, tudíž existuje index n₂, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {a_n} větší než K – (c – ε), resp. menší než K – (c + ε).

  Tudíž, označíme-li jako n₀ větší z čísel n₁ a n₂, dostáváme, že pro n > n₀ platí

  \[a_n + b_n \ > \ (K-(c-\varepsilon)) + (c-\varepsilon) \ = \ K,\]

  resp.

  \[a_n + b_n \ < \ (K-(c+\varepsilon)) + (c+\varepsilon) \ = \ K,\]

  tedy to, co jsme chtěli dokázat.

• Řešení – věta o limitě součtu (vlastní limity)

  Dokazujeme tvrzení, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_n + b_n) \ = \ \lim_{{\small n\to\infty}} \ a_n + \lim_{{\small n\to\infty}} \ b_n\]

  kdykoliv má pravá strana smysl (podle definic v zadání).

  V této části řešení dokážeme případ, kdy jsou obě limity na pravé staně vlastní. Předpokládáme tedy, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ a_n \ = \ A, \qquad \lim_{{\small n\to\infty}} \ b_n \ = \ B,\]

  kde A a B jsou reálná čísla. Z těchto předpokladů chceme dokázat, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_n + b_n) \ = \ A + B.\]

  Tuto rovnost budeme dokazovat pomocí definice vlastní limity. Chceme tedy dokázat, že pro libovolně zvolené kladné reálné číslo ε všechny členy posloupnosti {a_n + b_n} od nějakého indexu n₀ splňují nerovnost | (a_n + b_n) – (A + B) | < ε.

  Přitom podle předpokladů víme, že

  • limita posloupnosti {a_n} je číslo A, tudíž podle definice vlastní limity posloupnosti pro každé kladné číslo ε₁ existuje index n₁, od něhož počínaje, tj. pro všechny indexy n > n₁, platí nerovnost | a_n – A | < ε₁.

  • limita posloupnosti {b_n} je číslo B, tudíž podle definice vlastní limity posloupnosti pro každé kladné číslo ε₂ existuje index n₂, od něhož počínaje, tj. pro všechny indexy n > n₂, platí nerovnost | b_n – B | < ε₂.

  Tudíž, označíme-li jako n₀ větší z čísel n₁ a n₂, dostáváme pro n > n₀

  \[\left|\,(a_n\, +\, b_n)\, -\, (A\,+\,B)\,\right| \ = \ \left|\,(a_n\,-\,A) \, + \, (b_n\,-\,B)\,\right| \leq\]

  pomocí trojúhelníkové nerovnosti

  \[\leq |\,a_n\,-\,A\,| + |\,b_n\,-\,B\,| \ < \ \varepsilon_1 \, + \, \varepsilon_2.\]

  Důležité přitom je, že čísla ε₁ a ε₂ můžeme zvolit libovolně – volba konkrétní hodnoty ovlivní hodnoty indexů n₁ a n₂, a tedy také n₀, ale pro libovolnou volbu lze indexy s požadovanými vlastnostmi najít (to nám zaručují právě předpoklady o limitách posloupností {a_n} a {b_n} a definice vlastní limity).

  Protože chceme dokázat, že od nějakého indexu platí | (a_n + b_n) – (A + B) | < ε, stačí tedy volit čísla ε₁ a ε₂ tak, aby jejich součet byl menší než ε. Například ε₁ = ε₂ = ε/2. (Ještě jednou zopakujme: k oběma najdeme indexy n₁ a n₂ výše, hledaná nerovnost pak platí pro všechny indexy větší než obě čísla n₁ a n₂, což je to, co jsme chtěli dokázat.)

• Řešení – věta o limitě součinu (nevlastní limity)

  Dokazujeme tvrzení, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_n \, \cdot \, b_n) \ = \ \lim_{{\small n\to\infty}} \ a_n \, \cdot \, \lim_{{\small n\to\infty}} \ b_n\tag{2}\]

  kdykoliv má pravá strana smysl (podle definic v zadání).

  V této části řešení posoudíme případy, kdy je jedna z limit nebo obě limity na pravé staně nevlastní. Budeme postupovat rozborem případů.

  Stejně jako v případě věty o limitě součtu mají důkazy všech případů velmi podobné schéma.

  (a) Je-li jedna z limit na pravé straně rovnice (2) rovna +∞ a druhá nule, potom výraz na pravé straně není definován, a tudíž není co dokazovat.

  (b) Jsou-li obě limity na pravé straně rovnice (2) rovny +∞, potom (podle definice 13 v poznámce v zadání úlohy) dostáváme, že pravá strana je také rovna +∞. Chceme dokázat, že témuž je rovna strana levá. To jest, předpokládáme, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ a_n \ = \ +\infty, \qquad \lim_{{\small n\to\infty}} \ b_n \ = \ +\infty,\]

  a chceme dokázat, že z toho vyplývá také rovnost

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_nb_n) \ = \ +\infty.\]

  Tuto rovnost budeme dokazovat pomocí definice nevlastní limity. Chceme tedy dokázat, že pro libovolně zvolené reálné číslo K jsou všechny členy posloupnosti {a_nb_n} od nějakého indexu n₀ počínaje větší než K. Přitom se bez újmy na obecnosti můžeme omezit pouze na případ, kdy K je kladné číslo. (Umíme-li totiž součin „vyrobit“ od jistého indexu počínaje větší než libovolně zvolené kladné číslo, pak je jistě od téhož indexu počínaje větší než jakékoliv záporné číslo.)

  Přitom podle předpokladů víme, že

  • limita posloupnosti {a_n} je +∞, tudíž existuje index n₁, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {a_n} větší než √K,

  • limita posloupnosti {b_n} je +∞, tudíž existuje index n₂, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {b_n} větší než √K.

  Tudíž, označíme-li jako n₀ větší z čísel n₁ a n₂, dostáváme, že pro n > n₀ platí

  \[a_nb_n \ > \ \sqrt{K} \,\cdot\, \sqrt{K} \ = \ K,\]

  tedy to, co jsme chtěli dokázat.

  (c) Jsou-li obě limity na pravé straně rovnice (2) rovny –∞, potom (podle definice 19 v poznámce v zadání úlohy) dostáváme, že pravá strana je rovna +∞. Chceme dokázat, že témuž je rovna strana levá.

  Předpokládáme tedy, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ a_n \ = \ -\infty, \qquad \lim_{{\small n\to\infty}} \ b_n \ = \ -\infty,\]

  a chceme dokázat, že z toho vyplývá také rovnost

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_nb_n) \ = \ +\infty.\]

  Tuto rovnost budeme dokazovat pomocí definice nevlastní limity. Chceme tedy dokázat, že pro libovolně zvolené reálné číslo K jsou všechny členy posloupnosti {a_nb_n} od nějakého indexu n₀ počínaje větší než K. Opět se, stejně jako v předchozím případě, můžeme omezit na kladná K.

  Podle předpokladů víme, že

  • limita posloupnosti {a_n} je –∞, tudíž existuje index n₁, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {a_n} menší než –√K,

  • limita posloupnosti {b_n} je –∞, tudíž existuje index n₂, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {b_n} menší než –√K.

  Tudíž, označíme-li jako n₀ větší z čísel n₁ a n₂, dostáváme, že pro n > n₀ platí

  \[a_nb_n \ > \ (-\sqrt{K}) \,\cdot\, (-\sqrt{K}) \ = \ K,\]

  tedy to, co jsme chtěli dokázat (uvědomte si, že násobení záporným číslem obrací smysl nerovnosti).

  (d) Je-li nyní jedna z limit na pravé straně rovnice (2) rovna +∞ a druhá –∞, potom (podle definice 14 nebo 18 v poznámce v zadání úlohy) dostáváme, že pravá strana je rovna –∞. Chceme dokázat, že témuž je rovna strana levá.

  Bez újmy na obecnosti tedy předpokládáme, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ a_n \ = \ +\infty, \qquad \lim_{{\small n\to\infty}} \ b_n \ = \ -\infty,\]

  a chceme dokázat, že z toho vyplývá také rovnost

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_nb_n) \ = \ -\infty.\]

  (Pokud by se hodnoty limity posloupností {a_n} a {b_n} prohodily, důkaz by byl slovo od slova stejný, pouze bychom všude v textu důkazu zaměnili a_n za b_n a naopak.)

  Rovnost levé strany budeme dokazovat pomocí definice nevlastní limity. Chceme tedy dokázat, že pro libovolně zvolené reálné číslo K jsou všechny členy posloupnosti {a_nb_n} od nějakého indexu n₀ počínaje menší než K. Přitom se můžeme omezit na záporné hodnoty K (je-li součin a_nb_n od určitého indexu počínaje menší než zvolené záporné číslo, pak je také od téhož indexu jistě menší než libovolné kladné číslo).

  Podle předpokladů víme, že

  • limita posloupnosti {a_n} je +∞, tudíž existuje index n₁, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {a_n} větší než √(–K),

  • limita posloupnosti {b_n} je –∞, tudíž existuje index n₂, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {b_n} menší než –√(–K).

  (Důvod, proč odmocňujeme –K, je ten, že K předpokládáme záporné.)

  Tudíž, označíme-li jako n₀ větší z čísel n₁ a n₂, dostáváme, že pro n > n₀ platí

  \[a_nb_n \ < \ (\sqrt{-K}) \,\cdot\, [-(\sqrt{-K})] \ = \ -(\sqrt{-K})\cdot (\sqrt{-K}) \\ = \ -(-K) \ = \ K,\]

  tedy to, co jsme chtěli dokázat.

  (e) Nakonec předpokládejme, že jedna z limit je nevlastní a druhá z limit je vlastní. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že limita posloupnosti {a_n} je nevlastní, tj. buď +∞, resp. –∞, a limita posloupnosti {b_n} je vlastní, tj. rovna nějakému reálnému číslu c, které je buď kladné nebo záporné. Pravá strana je tedy také rovna ∞, resp. –∞ (podle pravidla 11, 12, 16 nebo 17 v poznámkách v zadání úlohy).

  Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že limita posloupnosti {a_n} je nevlastní a limita posloupnosti {b_n} je vlastní. (V opačném případě je důkaz po příslušné záměně slovo od slova stejný.)

  I při tomto částečném zjednodušení musíme rozebrat čtyři kombinace znamének vlastní i nevlastní limity.

  (e1) Předpokládejme nejprve, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ a_n = +\infty, \qquad \lim_{{\small n\to\infty}} \ b_n = c \ > \ 0,\]

  kde tedy c je nějaké kladné reálné číslo. Chceme dokázat, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_nb_n) = +\infty.\]

  Opět budeme dokazovat pomocí definice nevlastní limity. Chceme tedy dokázat, že pro libovolně zvolené reálné číslo K jsou všechny členy posloupnosti {a_nb_n} od nějakého indexu n₀ počínaje větší než K.

  Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že K > 0.

  Přitom podle předpokladů víme, že

  • limita posloupnosti {b_n} je rovna kladnému reálnému číslu c, tudíž pro libovolně zvolené ε existuje index n₁, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {b_n} větší než (c – ε). Číslo ε můžeme volit libovolně. Volíme jej tak, aby výraz (c –ε) zůstal kladný, např. ε = c/2.

  • limita posloupnosti {a_n} je +∞, tudíž existuje index n₂, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {a_n} větší než K : (c – ε) = K : (c/2).

  Tudíž, označíme-li jako n₀ větší z čísel n₁ a n₂, dostáváme, že pro n > n₀ platí

  \[a_nb_n \ > \ \frac{K}{\frac{c}{2}} \,\cdot\,\frac{c}{2} \ = \ K,\]

  tedy to, co jsme chtěli dokázat.

  (e2) Předpokládejme dále, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ a_n = +\infty, \qquad \lim_{{\small n\to\infty}} \ b_n = c \ < \ 0,\]

  tedy c je nějaké záporné reálné číslo. Chceme dokázat, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_nb_n) = -\infty.\]

  Opět budeme dokazovat pomocí definice nevlastní limity. Chceme tedy dokázat, že pro libovolně zvolené reálné číslo K jsou všechny členy posloupnosti {a_nb_n} od nějakého indexu n₀ počínaje menší než K.

  Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že K < 0.

  Přitom podle předpokladů víme, že

  • limita posloupnosti {b_n} je rovna zápornému reálnému číslu c, tudíž pro libovolně zvolené ε existuje index n₁, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {b_n} menší než (c + ε). Číslo ε můžeme volit libovolně. Volíme jej tak, aby výraz (c+ε) zůstal záporný, např. ε = –c/2.

  • limita posloupnosti {a_n} je +∞, tudíž existuje index n₂, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {a_n} větší než K : (c + ε) = K : (c/2). Protože dělíme záporné číslo záporným, je výsledný složený zlomek kladné číslo.

  Tudíž, označíme-li jako n₀ větší z čísel n₁ a n₂, dostáváme, že pro n > n₀ platí

  \[a_n \ > \ \frac{K}{\frac{c}{2}}\]

  přenásobením záporným číslem c/2 dostaneme nerovnost

  \[a_n \, \cdot \, \frac{c}{2} \ < \ \frac{K}{\frac{c}{2}} \,\cdot\,\frac{c}{2} = K\]

  a nakonec si uvědomme, že

  \[b_n \ < \ \frac{c}{2} \ \Rightarrow \ a_nb_n \ < \ a_n\,\cdot\,\frac{c}{2}\]

  protože násobení kladným číslem a_n zachovává smysl nerovnosti. Dáme-li tyto nerovnosti dohromady, máme

  \[a_nb_n \ < \ \frac{K}{\frac{c}{2}} \,\cdot\,\frac{c}{2} \ = \ K,\]

  tedy to, co jsme chtěli dokázat.

  (e3) Ve třetím případě předpokládejme, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ a_n = -\infty, \qquad \lim_{{\small n\to\infty}} \ b_n = c \ > \ 0,\]

  tedy c je nějaké záporné reálné číslo. Chceme dokázat, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_nb_n) = -\infty.\]

  Opět budeme dokazovat pomocí definice nevlastní limity. Chceme tedy dokázat, že pro libovolně zvolené reálné číslo K jsou všechny členy posloupnosti {a_nb_n} od nějakého indexu n₀ počínaje menší než K.

  Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že K < 0.

  Přitom podle předpokladů víme, že

  • limita posloupnosti {b_n} je rovna kladnému reálnému číslu c, tudíž pro libovolně zvolené ε existuje index n₁, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {b_n} větší než (c – ε). Číslo ε můžeme volit libovolně. Volíme jej tak, aby výraz (c – ε) zůstal kladný, např. ε = c/2.

  • limita posloupnosti {a_n} je –∞, tudíž existuje index n₂, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {a_n} menší než K : (c – ε) = K : (c/2). Protože dělíme záporné číslo kladným, je výsledný složený zlomek záporné číslo.

  Tudíž, označíme-li jako n₀ větší z čísel n₁ a n₂, dostáváme, že pro n > n₀ platí

  \[a_n \ < \ \frac{K}{\frac{c}{2}}\]

  přenásobením kladným číslem c/2 dostaneme nerovnost

  \[a_n \, \cdot \, \frac{c}{2} \ < \ \frac{K}{\frac{c}{2}} \,\cdot\,\frac{c}{2} \ = \ K\]

  a nakonec si uvědomme, že

  \[b_n \ > \ \frac{c}{2} \ \Rightarrow \ a_nb_n \ < \ a_n\,\cdot\,\frac{c}{2}\]

  protože násobení záporným číslem a_n obrací smysl nerovnosti. Dáme-li tyto nerovnosti dohromady, máme

  \[a_nb_n \ < \ \frac{K}{\frac{c}{2}} \,\cdot\,\frac{c}{2} \ = \ K,\]

  tedy to, co jsme chtěli dokázat.

  (e4) Ve čtvrtém a posledním případě předpokládejme, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ a_n = -\infty, \qquad \lim_{{\small n\to\infty}} \ b_n = c \ < \ 0,\]

  tedy c je nějaké záporné reálné číslo. Chceme dokázat, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_nb_n) = +\infty.\]

  Opět budeme dokazovat pomocí definice nevlastní limity. Chceme tedy dokázat, že pro libovolně zvolené reálné číslo K jsou všechny členy posloupnosti {a_nb_n} od nějakého indexu n₀ počínaje větší než K.

  Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že K > 0.

  Přitom podle předpokladů víme, že

  • limita posloupnosti {b_n} je rovna kladnému reálnému číslu c, tudíž pro libovolně zvolené ε existuje index n₁, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {b_n} menší než (c + ε). Číslo ε můžeme volit libovolně. Volíme jej tak, aby výraz (c + ε) zůstal záporný, např. ε = –c/2.

  • limita posloupnosti {a_n} je –∞, tudíž existuje index n₂, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {a_n} menší než K : (c – ε) = K : (c/2). Protože dělíme kladné číslo záporným, je výsledný složený zlomek záporné číslo.

  Tudíž, označíme-li jako n₀ větší z čísel n₁ a n₂, dostáváme, že pro n > n₀ platí

  \[a_n \ < \ \frac{K}{\frac{c}{2}}\]

  přenásobením záporným číslem c/2 dostaneme nerovnost

  \[a_n \, \cdot \, \frac{c}{2} \ > \ \frac{K}{\frac{c}{2}} \,\cdot\,\frac{c}{2} \ = \ K\]

  a nakonec si uvědomme, že

  \[b_n \ < \ \frac{c}{2} \ \Rightarrow \ a_nb_n \ > \ a_n\,\cdot\,\frac{c}{2}\]

  protože násobení záporným číslem a_n obrací smysl nerovnosti. Dáme-li tyto nerovnosti dohromady, máme

  \[a_nb_n \ > \ \frac{K}{\frac{c}{2}} \,\cdot\,\frac{c}{2} \ = \ K,\]

  tedy to, co jsme chtěli dokázat.

• Řešení – věta o limitě součinu (vlastní limity)

  Dokazujeme tvrzení, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_nb_n) \ = \ \lim_{{\small n\to\infty}} \ a_n \, \cdot \, \lim_{{\small n\to\infty}} \ b_n\]

  kdykoliv má pravá strana smysl (podle definic v zadání).

  V této části řešení dokážeme případ, kdy jsou obě limity na pravé staně vlastní. Předpokládáme tedy, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ a_n \ = \ A, \qquad \lim_{{\small n\to\infty}} \ b_n \ = \ B,\]

  kde A a B jsou reálná čísla. Z těchto předpokladů chceme dokázat, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_nb_n) \ = \ AB.\]

  Tuto rovnost budeme dokazovat pomocí definice vlastní limity. Chceme tedy dokázat, že pro libovolně zvolené kladné reálné číslo ε všechny členy posloupnosti {a_nb_n} od nějakého indexu n₀ splňují nerovnost | (a_nb_n) – (AB) | < ε.

  Přitom podle předpokladů víme, že

  • limita posloupnosti {a_n} je číslo A, tudíž podle definice vlastní limity posloupnosti pro každé kladné číslo ε₁ existuje index n₁, od něhož počínaje, tj. pro všechny indexy n > n₁, platí nerovnost | a_n – A | < ε₁.

  • limita posloupnosti {b_n} je číslo B, tudíž podle definice vlastní limity posloupnosti pro každé kladné číslo ε₂ existuje index n₂, od něhož počínaje, tj. pro všechny indexy n > n₂, platí nerovnost | b_n – B | < ε₂.

  Až potud bylo vše v podstatě stejné jako při důkazu věty o limitě součtu. Na odhad výrazu

  \[|\,a_nb_n \, - \, AB\,|\]

  je ale zapotřebí trojúhelníkovou nerovnost doplnit následujícím trikem. Výraz nejprve rozšíříme přičtením a odečtením stejného členu (tím se samozřejmě nezmění)

  \[|\,a_nb_n \, - \, AB\,| \ =\ |\,(a_nb_n \, - \,Ab_n) \, + \, (Ab_n \, - \, AB)\,| \ \leq\]

  a nyní použijeme trojúhelníkovou nerovnost

  \[\leq \ |\,a_nb_n \, - \,Ab_n\,| \, + \, |\,Ab_n \, - \,AB\,| \ = \]

  což můžeme vytknutím upravit na tvar

  \[= \ |\,b_n\,| \, |\,a_n - \,A\,| \, + \, |A| \, |\,b_n \, - \,B\,|.\]

  Označíme-li tedy jako n₀ větší z čísel n₁ a n₂, dostáváme pro n > n₀ odhad

  \[\left|\,a_nb_n\, - \, AB\,\right| \ < \ |\,b_n\,| \, \varepsilon_1 \, + \, |\,A\,| \, \varepsilon_2.\]

  Čísla ε₁ a ε₂ můžeme zvolit libovolně – volba konkrétní hodnoty ovlivní hodnoty indexů n₁ a n₂, a tedy také n₀, ale pro libovolnou volbu lze indexy s výše požadovanými vlastnostmi najít (to nám zaručují právě předpoklady o limitách posloupností {a_n} a {b_n} a definice vlastní limity).

  Chceme dokázat, že od nějakého indexu platí | a_nb_n – AB | < ε.

  K tomu stačí volit čísla ε₁ a ε₂, aby součet |b_n|ε₁ + |A|ε₂ byl menší než ε. Pokud by se nám to podařilo, byl by důkaz hotov.

  Jde to ovšem udělat? Šlo by, pokud bychom ze všech čísel |b_n| dokázali vybrat to největší, označme ho třeba m. Potom by stačilo volit ε₁ < ε/2m a ε₂ < ε/2|A|. Čísel |b_n| je ale nekonečně mnoho a z nekonečně mnoha čísel nemusí jít vybrat největší ani nejmenší.

  Je proto potřeba použít trochu jinou úvahu. I když neumíme najít největší z čísel |b_n|, víme, že posloupnost {b_n} má vlastní limitu, a tudíž je omezená (viz první části úlohy Vlastní/Nevlastní limita posloupnosti a otázka omezenosti). To znamená, že existuje číslo M takové, že |b_n| < M pro všechny členy posloupnosti {b_n}.

  Pak ale stačí volit ε₁ < ε/2M a ε₂ < ε/2|A|, neboť

  \[\left|\,a_nb_n\, - \, AB\,\right| \ < \ |\,b_n\,| \, \varepsilon_1 \, + \, |\,A\,| \, \varepsilon_2 \ < \\ < \ |\,b_n\,| \,\cdot\, \frac{\varepsilon}{2M} \, + \, |\,A\,| \, \cdot \, \frac{\varepsilon}{2|A|} \ < \ \frac{\varepsilon}{2} \, + \, \frac{\varepsilon}{2} \ = \ \varepsilon,\]

  protože |b_n|/M < 1. Což jsme chtěli dokázat.

• Řešení – věta o limitě rozdílu

  Věta o limitě rozdílu, tj. tvrzení

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \, (a_n\,-\,b_n) \ = \ \lim_{{\small n\to\infty}} \, a_n \ - \ \lim_{{\small n\to\infty}} \, b_n ,\]

  kdykoliv má pravá strana smysl, je vlastně důsledkem vět o limitě součtu a součinu. Má-li totiž pravá strana smysl, pak vskutku platí

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \, a_n \, - \, \lim_{{\small n\to\infty}} \, b_n \ = \ \lim_{{\small n\to\infty}} \, a_n\, + \, \lim_{{\small n\to\infty}} \, (-b_n) \ = \\ = \ \lim_{{\small n\to\infty}} \, (a_n\,+\,(-b_n)) \ = \ \lim_{{\small n\to\infty}} \, (a_n\,-\,b_n).\]

  Ve třetí rovnosti jsme pouze zaměnili odčítání za přičtení opačného prvku (což je de facto definice operace odčítání). Ve druhé rovnosti jsme použili větu o limitě součtu na posloupnosti {a_n} a {–b_n}, to že má součet limit smysl, vyplývá z předpokladu, což nahlédneme za chvíli. Odůvodnit první rovnost je nejsložitější. Je důsledkem věty o limitě součinu, jak vyplývá z následujícího pomocného výpočtu:

  \[ \lim_{{\small n\to\infty}} \, [-b_n] \ = \ \lim_{{\small n\to\infty}} \, [(-1)\,\cdot b_n] \ = \ \lim_{{\small n\to\infty}} (-1) \, \cdot \, \lim_{{\small n\to\infty}} \, b_n \ = \\ = \ (-1) \, \cdot \, \lim_{{\small n\to\infty}} \,b_n \ = \ -\lim_{{\small n\to\infty}} \, b_n.\]

  Přitom si všimněte, že předcházející rovnosti mají smysl pro libovolnou posloupnost {b_n} mající limitu (ať už vlastní nebo nevlastní), protože operace násobení minus jedničkou je definována jak pro reálná čísla, tak pro +∞ i –∞. Z toho vyplývá, že výraz

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \, a_n \, - \, \lim_{{\small n\to\infty}} \, b_n\]

  má smysl, kdykoliv má smysl (předchozí) výraz

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \, a_n\, + \, \lim_{{\small n\to\infty}} \, (-b_n).\]

  Podotkněme ještě, že jsme při pomocném výpočtu tiše použili fakt, že konstantní posloupnost, jejíž všechny členy jsou rovny číslu c, má limitu c. To jsme dokázali v úloze Základní limity posloupností. Tento fakt jsme použili pro c = –1.

• Řešení – věta o limitě podílu

  Dokazujeme tvrzení, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_n \, : \, b_n) \ = \ \lim_{{\small n\to\infty}} \ a_n \, : \, \lim_{{\small n\to\infty}} \ b_n\tag{3}\]

  kdykoliv má pravá strana smysl (podle definic v zadání úlohy).

  1. Nejprve posoudíme případ, kdy

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \, b_n \ = \ \pm\infty.\]

  Pokud také \(\lim \ a_n \ = \ \pm\infty\), potom pravá strana není definována, a tudíž není co dokazovat. Předpokládejme tedy, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \, a_n \ = \ c,\]

  kde c je nějaké reálné číslo. Z těchto dvou předpokladů chceme dokázat, že

  \[\lim_{{\small n\to\infty}} \ \frac{a_n}{b_n} \ = \ 0.\]

  Toto tvrzení budeme dokazovat pomocí definice vlastní limity. Chceme tedy dokázat, že pro libovolné kladné reálné číslo ε existuje index n₀ takový, že pro každé n > n₀ platí |a_n/b_n| < ε.

  Přitom podle předpokladů víme, že

  • limita posloupnosti {a_n} je číslo A, tudíž podle definice vlastní limity posloupnosti pro každé kladné číslo ε₁ existuje index n₁, od něhož počínaje, tj. pro všechny indexy n > n₁, platí nerovnost |a_n – A| < ε₁. Odtud pomocí trojúhelníkové nerovnosti vyplývá, že

    \[|a_n| \ = \ |\,a_n - A + A\,| \ \leq \ |\,a_n-A\,| \, + \, |A| \ \leq \ \varepsilon_1 + |A|\]

  • limita posloupnosti {b_n} je +∞, resp. –∞. Tudíž pro libovolné reálné číslo K existuje index n₂, od něhož počínaje jsou všechny členy posloupnosti {b_n} větší, resp. menší než K. Pokud se omezíme pouze na kladná K, resp. záporná K, potom odtud vyplývá, že |b_n| > |K|.

  Tudíž

  \[\left|\frac{a_n}{b_n}\right| \ < \ \frac{|A| \, + \, \varepsilon_1}{|K|},\]

  přitom konstanty ε₁ a K můžeme volit v zásadě libovolně. Pokud tedy konstantu ε₁ zvolíme jakkoliv a následně konstantu K zvolíme jako

  \[K \ = \ \pm\frac{|A| \, + \, \varepsilon_1}{\varepsilon}\]

  (podle toho, zda se omezujeme na K kladné či záporné), potom dostáváme

  \[\left|\frac{a_n}{b_n}\right| \ < \ \frac{|A| \, + \, \varepsilon_1}{|K|} \ = \ \varepsilon,\]

  což jsme chtěli dokázat.

  2. Nyní posoudíme zbylý případ, kdy limita posloupnosti {b_n} je vlastní a různá od nuly. Potom je věta o limitě podílu vlastně důsledkem věty o limitě součinu, neboť

  \[\lim \, \frac{a_n}{b_n} \, = \, \lim \, \left(a_n \,\cdot\,\frac{1}{b_n}\right) \, = \, \lim \, a_n \,\cdot\, \lim \, \frac{1}{b_n} \, = \, \lim \, a_n \,\cdot\, \frac{1}{\lim \, b_n}\]

  (je-li limita posloupnosti {b_n} vlastní a různá od nuly, výrazy mají smysl pro libovolnou posloupnost {a_n mající limitu). Stačí tedy dokázat poslední rovnost, tj.

  \[\lim \ \frac{1}{b_n} \ = \ \frac{1}{\lim \, b_n}\]

  a to tedy za předpokladu, že

  \[\lim \ b_n = B,\]

  kde B je nějaké nenulové reálné číslo.

  Ještě jednou to shrňme. Předpokládáme, že

  \[\lim \ b_n = B,\]

  kde B je nějaké nenulové reálné číslo, a odtud chceme dokázat, že

  \[\lim \ \frac{1}{b_n} \ = \ \frac{1}{B}.\]

  Stejně jako ve všech předchozích případech použijeme definici vlastní limity. Chceme tedy dokázat, že pro libovolně zvolené ε existuje n₀ takové, že pro každé n > n₀ platí

  \[\left|\,\frac{1}{b_n} \, - \, \frac{1}{B}\,\right| \ < \ \varepsilon.\]

  Výraz na levé straně můžeme upravit převedením na společného jmenovatele na tvar

  \[\left|\,\frac{1}{b_n} \, - \, \frac{1}{B}\,\right| \ = \ \frac{|\,B \, - \, b_n\,|}{|b_n|\,|B|}.\]

  Přitom víme, že limitou posloupnosti {b_n} je číslo B různé od nuly, tedy že pro libovolně zvolené ε₁ existuje n₁ takové, že pro každé n > n₁ platí

  \[|\,b_n \, - \, B\,| \ < \ \varepsilon_1.\]

  Číslo ε₁ můžeme volit libovolně. Chceme jej volit tak, aby platilo

  \[\frac{|\,B \, - \, b_n\,|}{|b_n|\,|B|} \ < \ \varepsilon.\]

  Budeme jej volit nadvakrát. Předně nahlédněme, že posloupnost {b_n} má nenulovou vlastní limitu, a tudíž od nějakého indexu n₂ počínaje platí, že všechny prvky b_n mají od nuly vzdálenost alespoň |B|/2, čehož dosáhneme právě volbou ε₁ = |B|/2. Díky trojúhelníkové nerovnosti totiž máme

  \[|\,b_n \, - \, B\,| \ < \ \varepsilon_1 \ \Rightarrow \ |b_n| \ = \ |\,B\,+\,(b_n-B)\,| \ \geq \\ \geq \ |B| \ - \ |\,b_n \,-\,B\,| \ > \ |B| \, - \, \varepsilon_1 \ = \ |B|/2.\]

  Pokud do výpočtu „nevidíte“, nakreslete si obrázek. Číslo ε₁ vlasntě určuje interval kolem bodu B, který dosáhne na půli cesty k nule.

  Odtud tedy vidíme, že pro n > n₂ je

  \[\left|\,\frac{1}{b_n} \, - \, \frac{1}{B}\,\right| \ = \ \frac{|\,B\,-\,b_n\,|}{|b_n|\,|B|} \ < \ \frac{|\,B\,-\,b_n\,|}{|B|^2/2} \ < \ \frac{\varepsilon_1}{|B|^2/2}.\]

  Jak volit napodruhé je vidět z posledního zlomku. Pro

  \[\varepsilon_1 = \frac{\varepsilon}{|B|^2/2}\]

  najdeme příslušný index n₁ takový, aby |b_n – B| < ε₁. Pokud volíme jako index n₀ větší z indexů n₁ a n₂, pak podle předchozích nerovností pro každý index n > n₀ nutně platí

  \[\left|\,\frac{1}{b_n} \, - \, \frac{1}{B}\,\right| \ = \ \frac{|\,B\,-\,b_n\,|}{|b_n|\,|B|} \ < \ \frac{|\,B\,-\,b_n\,|}{|B|^2/2} \ < \ \frac{\varepsilon_1}{|B|^2/2} \ = \ \varepsilon,\]

  což jsme chtěli dokázat.

• Řešení 2. a 3. části

  Vizte úlohu Dělení nulou, části (b) a (c).