Sbírka řešených úloh

Hyperbolická substituce

Úloha číslo: 1264

• Rozbor

  Určit primitivní funkci k zadané odmocnine není na první pohled jednoduché. Všimněme si ale, že definiční obor zadané funkce je totožný s oborem hodnot hyperbolických funkcí sinh a cosh.

  Toto zjištění by nás mělo směřovat cestou hyperbolických substitucí a využití známých vztahů pro hyperbolické substituce.

  Nejprve je důležité vhodně zvolit substituci tak, abychom si práci co nejvíce zjednodušili.

  Navíc je nutné splnit podmínku dané substituce, tedy před použitím je třeba ji ověřit.

  Tuto konkrétní úlohu je možno řešit také pomocí eulerových substitucí.

• Nápověda

  Pomocí definice funkcí sinh a cosh, známých neurčitých integrálů Přehled základních primitivních funkcí, známých základních derivací Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné, vhodné hyperbolické substituce a vlastností hyperbolických funkcí určete hledaný neurčitý integrál.

• Řešení

  Nejprve vhodně zvolíme hyperbolickou substituci, přičemž vyjdeme z rovnosti \(1=\cosh^2{z}-\sinh^2{z}\Rightarrow 1+\sinh^2{z}=\cosh^2{z}\).

  Je tedy patrné, že pro nás váhodnou substitucí bude \(x=\sinh(t)\), kde pro dx platí \(dx=\cosh(t)dt\), po zavedení substituce bude integrál vypadat:

  \[\int{\sqrt{1+x^2}}dx=\int{\cosh{t}\sqrt{1-\sinh^2{t}}}dt=\]

  Využijme vlastnosti \(1+\sinh^2{z}=\cosh^2{z}\) a výraz následně odmocníme:

  \[=\int{\cosh{t}\sqrt{\cosh^2{t}}}dt=\int{\cosh^2{t}}dt\]

  Nyní využijeme identity \(\cosh^2{z}=\frac{1+\cosh{2z}}{2}\) a výraz přepíšeme jako:

  \[=\int{\cosh^2{t}}dt=\int{\frac{1+\cosh{2t}}{2}}dt=\]

  využijeme linearity integrálu a integrál rozdělíme:

  \[=\frac{1}{2}\int{1}dt+\frac{1}{2}\int{\cosh{2t}}dt=\]

  pomocí Přehled základních primitivních funkcí určíme oba neurčité integrály:

  \[=\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sinh{2t}+c\]

  výraz upravíme pomocí identity \(\sinh{2t}=2\sinh{t}\cosh{t}\):

  \[=\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\sinh{t}\cosh{t}+c\]

  před tím, než provedeme zpětnou substituci, je třeba vyjádřit t a celý výraz ještě jednou upravit pomocí identity \(1+\sinh^2{z}=\cosh^2{z}{a}\):

  \[x=\sinh{t}\Rightarrow \mathrm{argsinh}\,{x}=t\] \[\cosh^2{t}=1+\sinh^2{t}\Rightarrow \cosh{t}=\sqrt{1+\sinh^2{t}}\]

  díky čemuž výraz nakonec přepíšeme:

  \[=\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\sinh{t}\sqrt{1+\sinh^2{t}}+c=\] \[=\frac{1}{2}\mathrm{argsinh}\,{x}+\frac{1}{2}x\sqrt{1+x^2}+c\]