Ještě jedna úloha o snižování řádu
Úloha číslo: 1893
Snižte řád rovnice \(y''=\frac{y'}{y^2}\).
V následující úloze užijeme značení z royboru úlohy.
Rozbor
Dalšími rovnicemi, jejichž řád lze snižovat, jsou rovnice typu \(y^{(n)}=f\bigl(y,y',\cdots\) \(\cdots, y^{(n-1)} \bigr)\,.\) Uvážíme-li případ, kdy je řešením této rovnice monotónní funkce \(y=\varphi(x)\), tedy \(\varphi' \ne 0\), lze uvažovat i k ní příslušnou inverzní funkci \(x=\psi(y)\). To ale znamená, že derivace \(y'(x), y''(x), \cdots, y^{(n)}(x))\) lze považovat za funkce proměnné \(y\).
V takovém případě má smysl uvažovat substituci
\[p(y(x))=y'(x) \,.\]Pro \(y''\) tak za využití věty o derivaci součinu bude platit
\[y''=(y')'=\bigl(p(y)\bigr)'= p'(y)y'=p'(y)p(y)\,.\]Pro \(y'''\) pak dále stejným způsobem
\[y'''=(y'')'=\bigl(p'(y)p(y)\bigr)'= p''(y)y'+p'(y)p'(y)=p''(y)y'+p'(y)^2 \,.\]Povšimněme si trendu nižšího řádu derivací \(y\) vzhledem k příslušným derivacím \(p\). Budeme-li analogicky pokračovat až k \(y^{(n)}\), původní rovnici řádu \(n\) zjevně převedeme na rovnici řádu \(n-1\). Použitím substituce získáme rovnici, jejímž řešením dojdeme k funkci \(p(y)\). Od té pak nakonec skrze užitý substituční vztah přejdeme zpět k hledané funkci \(y(x)\). Nebo-li
\[y=\int p(y) \mathrm{d}y \,.\]Snížení řádu
V souladu s rozborem úlohy snižte řád zadané rovnice.
