Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita posloupnosti - komplexní úloha IX

Úloha číslo: 861

Určete limitu posloupnosti

\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{\left[\sqrt{n^3+1}\right] + \left[\sqrt{n^3-1}\right]}{\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n+\cdots+n^n}},\]

kde [·] značí funkci nazývanou celá část, tj. [x] je rovno nejvyššímu celému číslu menšímu nebo rovnému x.

  • Řešení

    Určujeme limitu posloupnosti

    \[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{\left[\sqrt{n^3+1}\right] + \left[\sqrt{n^3-1}\right]}{\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n+\cdots+n^n}},\]

    kde [·] značí funkci celá část popsanou v zadání úlohy.

    Ukážeme, že limitou je ∞. Lze na to přijít tak, že čitatel se aproximativně chová jako mocnina

    \[\sqrt{n^3+1}+\sqrt{n^3-1} \approx 2\sqrt{n^3} = n^{3/2},\]

    zatímco jmenovatel lze seshora odhadnout

    \[\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n+\cdots+n^n} \leq \sqrt[n]{n^n+n^n+n^n+\cdots+n^n} = n\sqrt[n]{n} \approx n,\]

    a tudíž se chová nejvýše jako mocnina n. To nasvědčuje tomu, že čitatel roste s vyšší mocninou n než jmenovatel, ale předchozí heuristické úvahy se musí velmi pečlivě formalizovat, aby byl popsaný postup korektní.

    Začneme tím, že odhadneme čitatel zespoda. K tomu využijeme, že celá část čísla je větší nebo rovna stejnému číslu umenšenému o jedničku, tudíž

    \[\left[\sqrt{n^3+1}\right] + \left[\sqrt{n^3-1}\right] \geq \sqrt{n^3+1}-1+\sqrt{n^3-1}-1 \geq \] \[ \geq \sqrt{n^3+1}-2 \geq \sqrt{n^3}-2 = n^{3/2}-2.\]

    Zároveň odhadneme jmenovatel zespoda. K tomu využijeme nejprve výše zmíněný odhad

    \[\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n+\cdots+n^n} \leq \sqrt[n]{n^n+n^n+n^n+\cdots+n^n} = n\sqrt[n]{n},\]

    a nyní si uvědomíme, že podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina II je

    \[\lim \ \sqrt[n]{n} = 1,\]

    tudíž od nějakého členu počínaje je

    \[\sqrt[n]{n} \leq 2,\]

    a tedy od stejného členu počínaje platí

    \[\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n+\cdots+n^n} \leq \sqrt[n]{n^n+n^n+n^n+\cdots+n^n} = n\sqrt[n]{n} \leq 2n.\]

    Od tohoto členu počínaje tedy máme odhad, že

    \[\frac{\left[\sqrt{n^3+1}\right] + \left[\sqrt{n^3-1}\right]}{\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n+\cdots+n^n}} \geq \frac{n^{3/2}-2}{2n} \xrightarrow{n\to\infty} +\infty.\]

    Podle části (b) úlohy Věta o dvou policajtech je tedy také

    \[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{\left[\sqrt{n^3+1}\right] + \left[\sqrt{n^3-1}\right]}{\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n+\cdots+n^n}} = +\infty.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze