Limita posloupnosti - komplexní úloha IX
Úloha číslo: 861
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{\left[\sqrt{n^3+1}\right] + \left[\sqrt{n^3-1}\right]}{\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n+\cdots+n^n}},\]kde [·] značí funkci nazývanou celá část, tj. [x] je rovno nejvyššímu celému číslu menšímu nebo rovnému x.
Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{\left[\sqrt{n^3+1}\right] + \left[\sqrt{n^3-1}\right]}{\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n+\cdots+n^n}},\]kde [·] značí funkci celá část popsanou v zadání úlohy.
Ukážeme, že limitou je ∞. Lze na to přijít tak, že čitatel se aproximativně chová jako mocnina
\[\sqrt{n^3+1}+\sqrt{n^3-1} \approx 2\sqrt{n^3} = n^{3/2},\]zatímco jmenovatel lze seshora odhadnout
\[\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n+\cdots+n^n} \leq \sqrt[n]{n^n+n^n+n^n+\cdots+n^n} = n\sqrt[n]{n} \approx n,\]a tudíž se chová nejvýše jako mocnina n. To nasvědčuje tomu, že čitatel roste s vyšší mocninou n než jmenovatel, ale předchozí heuristické úvahy se musí velmi pečlivě formalizovat, aby byl popsaný postup korektní.
Začneme tím, že odhadneme čitatel zespoda. K tomu využijeme, že celá část čísla je větší nebo rovna stejnému číslu umenšenému o jedničku, tudíž
\[\left[\sqrt{n^3+1}\right] + \left[\sqrt{n^3-1}\right] \geq \sqrt{n^3+1}-1+\sqrt{n^3-1}-1 \geq \] \[ \geq \sqrt{n^3+1}-2 \geq \sqrt{n^3}-2 = n^{3/2}-2.\]Zároveň odhadneme jmenovatel zespoda. K tomu využijeme nejprve výše zmíněný odhad
\[\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n+\cdots+n^n} \leq \sqrt[n]{n^n+n^n+n^n+\cdots+n^n} = n\sqrt[n]{n},\]a nyní si uvědomíme, že podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina II je
\[\lim \ \sqrt[n]{n} = 1,\]tudíž od nějakého členu počínaje je
\[\sqrt[n]{n} \leq 2,\]a tedy od stejného členu počínaje platí
\[\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n+\cdots+n^n} \leq \sqrt[n]{n^n+n^n+n^n+\cdots+n^n} = n\sqrt[n]{n} \leq 2n.\]Od tohoto členu počínaje tedy máme odhad, že
\[\frac{\left[\sqrt{n^3+1}\right] + \left[\sqrt{n^3-1}\right]}{\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n+\cdots+n^n}} \geq \frac{n^{3/2}-2}{2n} \xrightarrow{n\to\infty} +\infty.\]Podle části (b) úlohy Věta o dvou policajtech je tedy také
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{\left[\sqrt{n^3+1}\right] + \left[\sqrt{n^3-1}\right]}{\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n+\cdots+n^n}} = +\infty.\]
