Sbírka řešených úloh

Limita racionální funkce ve vlastním bodě mimo D_f II.

Úloha číslo: 1176

• Nápověda 1

  Převeďte zlomky na společného jmenovatele a následně ze všech závorek vytkněte $-1$, tak aby na prvním místě stála vždy mocnina $x$ a na druhém $1$. S takovýmto tvarem závorek se nám bude lépe pracovat při jejich rozkládání.

• Řešení nápovědy 1

  Zlomky převedeme na společného jmenovatele: $$\lim_{x\to 1} \left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right) = \lim_{x\to 1} \frac{m(1-x^n)-n(1-x^m)}{(1-x^m)(1-x^n)}\mathrm{.}$$ Z každé závorky vytkneme $(-1)$: $$\lim_{x\to 1} \frac{m(1-x^n)-n(1-x^m)}{(1-x^m)(1-x^n)}= \lim_{x\to 1} \frac{n(x^m-1)-m(x^n-1)}{(x^m-1)(x^n-1)}\mathrm{.}$$

• Nápověda 2

  Proveďte rozklad všech závorek dle vzorce: $$\left(A^k-B^k\right) = \left(A-B\right)\left(A^{k-1}+BA^{k-2}+\ldots+B^{k-2}A+B^{k-1}\right) \tag{*}$$ a výraz upravte vytknutím závorky $\left(x-1\right)$ v čitateli a jejím zkrácením. Dále do závorek ve jmenovateli s naznačeným součtem m a n členů dosaďte $x=1$ a závorky sečtěte.

• Řešení nápovědy 2

  Rozkladem dle vzorce (*) pro $(A^k-B^k)$ a vytknutím $(x-1)$ dostaneme: $$=\lim_{x\to 1} \frac{(x-1)\left[n(x^{m-1}+x^{m-2}+\ldots+1)-m(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+1)\right]}{(x-1)^2(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+1)(x^{m-1}+x^{m-2}+\ldots+1)}\mathrm{.}$$ Dosazením $x=1$ do druhé a třetí závorky jmenovatele a sečtením vzniklých n jedniček v jeho druhé závorce a m jedniček v závorce třetí a současným pokrácením $(x-1)$ získáme: $$= \frac{1}{mn} \lim_{x\to 1} \frac{\left[n(x^{m-1}+x^{m-2}+\ldots+1)-m(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+1)\right]}{x-1}\mathrm{.}$$

• Nápověda 3

  Nyní lze použít buď l’Hopitalovo pravidlo, nebo fakt, že počítáme derivaci funkce nahoře v bodě $1$.

  Použijte trik – ke každé mocnině $x$ v čitateli přičtěte $-1$ a upravte.

• Řešení nápovědy 3

  Použijeme trik - ke každé mocnině $x$ v čitateli přičteme $-1$. Dostaneme:

  $= \frac{1}{mn} \lim_{x\to 1} \frac{[n((x^{m-1}-1)+(x^{m-2}-1)+\ldots+(x-1)+m)-m((x^{n-1}-1)+(x^{n-2}-1)+\ldots+x-1+n)]}{x-1}\mathrm{.}$

  Poslední členy v závorkách v čitateli roznásobíme:

  $= \frac{1}{mn} \lim_{x\to 1} \frac{[n((x^{m-1}-1)+\ldots+(x-1))+nm-m((x^{n-1}-1)+\ldots+x-1)-mn]}{x-1}\mathrm{,}$

  a sečteme je:

  $= \frac{1}{mn} \lim_{x\to 1} \frac{[n((x^{m-1}-1)+(x^{m-2}-1)+\ldots+(x-1))-m((x^{n-1}-1)+(x^{n-2}-1)+\ldots+x-1)]}{x-1}\mathrm{.}$

  V poslední úpravě je současně dopsán druhý člen součtu v závorkách.

• Nápověda 4

  Použijte opět rozklad jednotlivých závorek v součtu pomocí vzorce (*) pro $A^k - B^k$. V každé závorce součtu rozkladem vznikne člen $(x-1)$. Ten opět vytkněte a pokraťe. Nakonec dosaďte $x=1$.

• Řešení nápovědy 4

  $\frac{1}{mn} \lim_{x\to 1} \frac{n\left[(x^{m-1}-1)+(x^{m-2}-1)+\ldots+(x-1)\right]-m\left[(x^{n-1}-1)+(x^{n-2}-1)+\ldots+x-1\right]}{x-1}$

  ---

  Rozložme jednotlivé závorky, do druhé závorky rozkladu dosaďme $x=1$ a sečtěme ji:

  $(x^{m-1} - 1) = (x-1)(x^{m-2} + x^{m-3}+ \ldots + 1) = (x-1)(m-1)$
  $(x^{m-2} - 1) = (x-1)(x^{m-3} + x^{m-4}+ \ldots + 1) = (x-1)(m-2)$
  $(x^{m-3} - 1) = (x-1)(x^{m-4} + x^{m-5}+ \ldots + 1) = (x-1)(m-3)$
  $\hspace{10px}\cdots\cdots$
  $(x^2 - 1) = (x-1)\cdot 2$
  $(x - 1) = (x-1)\cdot 1$

  Obdobně pro druhou část čitatele:

  $(x^{n-1} - 1) = (x-1)(x^{n-2} + x^{n-3}+ \ldots + 1) = (x-1)(n-1)$
  $(x^{n-2} - 1) = (x-1)(x^{n-3} + x^{n-4}+ \ldots + 1) = (x-1)(n-2)$
  $(x^{n-3} - 1) = (x-1)(x^{n-4} + x^{n-5}+ \ldots + 1) = (x-1)(n-3)$
  $\hspace{10px}\cdots\cdots$
  $(x^2 - 1) = (x-1)\cdot 2$
  $(x - 1) = (x-1)\cdot 1$

  ---

  Dosazením těchto rozkladů a vytknutím a pokrácením $(x-1)$ dostáváme:

  $$\frac{1}{mn} \cdot [n((m-1)+(m-2)+\ldots+1)-m((n-1)+(n-2)+\ldots+1]\mathrm{.}$$

• Nápověda 5

  Sečtěte a upravte: $$\frac{1}{mn} \cdot \left\lbrace n\left[{(m-1)+(m-2)+\ldots+1}\right]-m\left[{(n-1)+(n-2)+\ldots+1}\right]\right\rbrace\mathrm{.}$$ Ve výrazu se v hranatých závorkách vyskytují součty:

  • Součet prvních $(m-1)$ členů aritmetické posloupnosti s prvním členem $(m-1)$ a posledním členem $1$.
  • Součet prvních $(n-1)$ členů aritmetické posloupnosti s prvním členem $(n-1)$ a posledním členem $1$.

  ---

  Uvědomte si, že prvních $r$ členů aritmetické posloupnosti $a_n$ lze sečíst pomocí vztahu:

  $$s_r = \frac{r}{2}\left( a_1 + a_r \right)$$ Přesné odvození tohoto vzorce pro součet členů aritmetické posloupnosti naleznete v úloze Nekonečné součty.

• Řešení nápovědy 5

  $$\frac{1}{mn} \cdot \left\lbrace n\left[{(m-1)+(m-2)+\ldots+1}\right]-m\left[{(n-1)+(n-2)+\ldots+1}\right]\right\rbrace$$ Vypočítáme jednotlivé součty: $$s_m = \frac{m-1}{2}\left[ (m-1) + 1 \right] = \frac{m(m-1)}{2}\mathrm{,}$$ $$s_n = \frac{n-1}{2}\left[ (n-1) + 1 \right] = \frac{n(n-1)}{2}\mathrm{.}$$ Součty dosadíme a jednoduchou úpravou dostaneme výsledek: $$= \frac{1}{mn} \cdot \left[n\frac{m(m-1)}{2}-m\frac{n(n-1)}{2}\right] = \frac{1}{mn} \cdot mn\cdot \left[\frac{m-1}{2}-\frac{n-1}{2}\right] =$$ $$= \frac{m-n}{2}\mathrm{.}$$

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Zlomky převedeme na společného jmenovatele: $$\lim_{x\to 1} \left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right) = \lim_{x\to 1} \frac{m(1-x^n)-n(1-x^m)}{(1-x^m)(1-x^n)}\mathrm{.}$$ Z každé závorky vytkneme $(-1)$: $$\lim_{x\to 1} \frac{m(1-x^n)-n(1-x^m)}{(1-x^m)(1-x^n)}= \lim_{x\to 1} \frac{n(x^m-1)-m(x^n-1)}{(x^m-1)(x^n-1)}\mathrm{.}$$ Rozkladem dle vzorce^(*) pro $(A^k-B^k)$ a vytknutím $(x-1)$ dostaneme: $$=\lim_{x\to 1} \frac{(x-1)\left[n(x^{m-1}+x^{m-2}+\ldots+1)-m(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+1)\right]}{(x-1)^2(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+1)(x^{m-1}+x^{m-2}+\ldots+1)}\mathrm{.}$$ Dosazením $x=1$ do druhé a třetí závorky jmenovatele a sečtením vzniklých n jedniček v jeho druhé závorce a m jedniček v závorce třetí a současným pokrácením $(x-1)$ získáme: $$= \frac{1}{mn} \lim_{x\to 1} \frac{\left[n(x^{m-1}+x^{m-2}+\ldots+1)-m(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+1)\right]}{x-1}\mathrm{.}$$ Použijeme trik - ke každé mocnině $x$ v čitateli přičteme $-1$. Dostaneme:

  $= \frac{1}{mn} \lim_{x\to 1} \frac{[n((x^{m-1}-1)+(x^{m-2}-1)+\ldots+(x-1)+m)-m((x^{n-1}-1)+(x^{n-2}-1)+\ldots+x-1+n)]}{x-1}\mathrm{.}$

  Poslední členy v závorkách v čitateli roznásobíme:

  $= \frac{1}{mn} \lim_{x\to 1} \frac{[n((x^{m-1}-1)+\ldots+(x-1))+nm-m((x^{n-1}-1)+\ldots+x-1)-mn]}{x-1}\mathrm{,}$

  a sečteme je:

  $= \frac{1}{mn} \lim_{x\to 1} \frac{[n((x^{m-1}-1)+(x^{m-2}-1)+\ldots+(x-1))-m((x^{n-1}-1)+(x^{n-2}-1)+\ldots+x-1)]}{x-1}\mathrm{.}$

  Rozložíme jednotlivé závorky, do druhé závorky rozkladu dosadíme $x=1$ a sečteme ji:

  $(x^{m-1} - 1) = (x-1)(x^{m-2} + x^{m-3}+ \ldots + 1) = (x-1)(m-1)$
  $(x^{m-2} - 1) = (x-1)(x^{m-3} + x^{m-4}+ \ldots + 1) = (x-1)(m-2)$
  $(x^{m-3} - 1) = (x-1)(x^{m-4} + x^{m-5}+ \ldots + 1) = (x-1)(m-3)$
  $\hspace{10px}\cdots\cdots$
  $(x^2 - 1) = (x-1)\cdot 2$
  $(x - 1) = (x-1)\cdot 1$

  Obdobně pro druhou část čitatele:

  $(x^{n-1} - 1) = (x-1)(x^{n-2} + x^{n-3}+ \ldots + 1) = (x-1)(n-1)$
  $(x^{n-2} - 1) = (x-1)(x^{n-3} + x^{n-4}+ \ldots + 1) = (x-1)(n-2)$
  $(x^{n-3} - 1) = (x-1)(x^{n-4} + x^{n-5}+ \ldots + 1) = (x-1)(n-3)$
  $\hspace{10px}\cdots\cdots$
  $(x^2 - 1) = (x-1)\cdot 2$
  $(x - 1) = (x-1)\cdot 1$

  ---

  Dosazením těchto rozkladů a vytknutím a pokrácením $(x-1)$ dostáváme:

  $$\frac{1}{mn} \cdot [n((m-1)+(m-2)+\ldots+1)-m((n-1)+(n-2)+\ldots+1]\mathrm{.}$$ Vypočítáme jednotlivé součty: $$s_m = \frac{m-1}{2}\left[ (m-1) + 1 \right] = \frac{m(m-1)}{2}\mathrm{,}$$ $$s_n = \frac{n-1}{2}\left[ (n-1) + 1 \right] = \frac{n(n-1)}{2}\mathrm{.}$$ Součty dosadíme a jednoduchou úpravou dostaneme výsledek: $$= \frac{1}{mn} \cdot \left[n\frac{m(m-1)}{2}-m\frac{n(n-1)}{2}\right] = \frac{1}{mn} \cdot mn\cdot \left[\frac{m-1}{2}-\frac{n-1}{2}\right] =$$ $$= \frac{m-n}{2}\mathrm{.}$$

• Výsledek

  $$\lim_{x\to 1} \left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right) = \frac{m-n}{2}$$

  kde m, n jsou přirozená čísla.