Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita racionální funkce ve vlastním bodě mimo Df II.
Úloha číslo: 1176
Vypočtěte limitu:
\[\lim_{x\to 1}
\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right)\mathrm{,}\]
kde m, n jsou přirozená čísla.
Nápověda 1
Převeďte zlomky na společného jmenovatele a následně ze všech závorek vytkněte \(-1\), tak aby na prvním místě stála vždy mocnina \(x\) a na druhém \(1\). S takovýmto tvarem závorek se nám bude lépe pracovat při jejich rozkládání.Nápověda 2
Proveďte rozklad všech závorek dle vzorce: \[ \left(A^k-B^k\right) = \left(A-B\right)\left(A^{k-1}+BA^{k-2}+\ldots+B^{k-2}A+B^{k-1}\right) \tag{*}\] a výraz upravte vytknutím závorky \(\left(x-1\right)\) v čitateli a jejím zkrácením. Dále do závorek ve jmenovateli s naznačeným součtem m a n členů dosaďte \(x=1\) a závorky sečtěte.Nápověda 3
Nyní lze použít buď l’Hopitalovo pravidlo, nebo fakt, že počítáme derivaci funkce nahoře v bodě \(1\).
Použijte trik – ke každé mocnině \(x\) v čitateli přičtěte \(-1\) a upravte.
Nápověda 4
Použijte opět rozklad jednotlivých závorek v součtu pomocí vzorce (*) pro \(A^k - B^k\). V každé závorce součtu rozkladem vznikne člen \((x-1)\). Ten opět vytkněte a pokraťe. Nakonec dosaďte \(x=1\).Nápověda 5
Sečtěte a upravte: \[ \frac{1}{mn} \cdot \left\lbrace n\left[{(m-1)+(m-2)+\ldots+1}\right]-m\left[{(n-1)+(n-2)+\ldots+1}\right]\right\rbrace\mathrm{.} \] Ve výrazu se v hranatých závorkách vyskytují součty:- Součet prvních \((m-1)\) členů aritmetické posloupnosti s prvním členem \((m-1)\) a posledním členem \(1\).
- Součet prvních \((n-1)\) členů aritmetické posloupnosti s prvním členem \((n-1)\) a posledním členem \(1\).
Uvědomte si, že prvních \(r\) členů aritmetické posloupnosti \(a_n\) lze sečíst pomocí vztahu:
\[ s_r = \frac{r}{2}\left( a_1 + a_r \right) \] Přesné odvození tohoto vzorce pro součet členů aritmetické posloupnosti naleznete v úloze Nekonečné součty.CELKOVÉ ŘEŠENÍ
Zlomky převedeme na společného jmenovatele: \[ \lim_{x\to 1} \left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right) = \lim_{x\to 1} \frac{m(1-x^n)-n(1-x^m)}{(1-x^m)(1-x^n)}\mathrm{.} \] Z každé závorky vytkneme \((-1)\): \[ \lim_{x\to 1} \frac{m(1-x^n)-n(1-x^m)}{(1-x^m)(1-x^n)}= \lim_{x\to 1} \frac{n(x^m-1)-m(x^n-1)}{(x^m-1)(x^n-1)}\mathrm{.} \] Rozkladem dle vzorce(*) pro \((A^k-B^k)\) a vytknutím \((x-1) \) dostaneme: \[ =\lim_{x\to 1} \frac{(x-1)\left[n(x^{m-1}+x^{m-2}+\ldots+1)-m(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+1)\right]}{(x-1)^2(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+1)(x^{m-1}+x^{m-2}+\ldots+1)}\mathrm{.} \] Dosazením \(x=1\) do druhé a třetí závorky jmenovatele a sečtením vzniklých n jedniček v jeho druhé závorce a m jedniček v závorce třetí a současným pokrácením \((x-1)\) získáme: \[ = \frac{1}{mn} \lim_{x\to 1} \frac{\left[n(x^{m-1}+x^{m-2}+\ldots+1)-m(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+1)\right]}{x-1}\mathrm{.} \] Použijeme trik - ke každé mocnině \(x\) v čitateli přičteme \(-1\). Dostaneme:\( = \frac{1}{mn} \lim_{x\to 1} \frac{[n((x^{m-1}-1)+(x^{m-2}-1)+\ldots+(x-1)+m)-m((x^{n-1}-1)+(x^{n-2}-1)+\ldots+x-1+n)]}{x-1}\mathrm{.} \)
Poslední členy v závorkách v čitateli roznásobíme:\( = \frac{1}{mn} \lim_{x\to 1} \frac{[n((x^{m-1}-1)+\ldots+(x-1))+nm-m((x^{n-1}-1)+\ldots+x-1)-mn]}{x-1}\mathrm{,} \)
a sečteme je:\( = \frac{1}{mn} \lim_{x\to 1} \frac{[n((x^{m-1}-1)+(x^{m-2}-1)+\ldots+(x-1))-m((x^{n-1}-1)+(x^{n-2}-1)+\ldots+x-1)]}{x-1}\mathrm{.} \)
Rozložíme jednotlivé závorky, do druhé závorky rozkladu dosadíme \(x=1\) a sečteme ji:
\((x^{m-1} - 1) = (x-1)(x^{m-2} + x^{m-3}+ \ldots + 1) = (x-1)(m-1)\)
\((x^{m-2} - 1) = (x-1)(x^{m-3} + x^{m-4}+ \ldots + 1) = (x-1)(m-2)\)
\((x^{m-3} - 1) = (x-1)(x^{m-4} + x^{m-5}+ \ldots + 1) = (x-1)(m-3)\)
\(\hspace{10px}\cdots\cdots\)
\((x^2 - 1) = (x-1)\cdot 2\)
\((x - 1) = (x-1)\cdot 1\)Obdobně pro druhou část čitatele:
\((x^{n-1} - 1) = (x-1)(x^{n-2} + x^{n-3}+ \ldots + 1) = (x-1)(n-1)\)
\((x^{n-2} - 1) = (x-1)(x^{n-3} + x^{n-4}+ \ldots + 1) = (x-1)(n-2)\)
\((x^{n-3} - 1) = (x-1)(x^{n-4} + x^{n-5}+ \ldots + 1) = (x-1)(n-3)\)
\(\hspace{10px}\cdots\cdots\)
\((x^2 - 1) = (x-1)\cdot 2\)
\((x - 1) = (x-1)\cdot 1\)
Dosazením těchto rozkladů a vytknutím a pokrácením \((x-1)\) dostáváme:
\[ \frac{1}{mn} \cdot [n((m-1)+(m-2)+\ldots+1)-m((n-1)+(n-2)+\ldots+1]\mathrm{.} \] Vypočítáme jednotlivé součty: \[ s_m = \frac{m-1}{2}\left[ (m-1) + 1 \right] = \frac{m(m-1)}{2}\mathrm{,} \] \[ s_n = \frac{n-1}{2}\left[ (n-1) + 1 \right] = \frac{n(n-1)}{2}\mathrm{.} \] Součty dosadíme a jednoduchou úpravou dostaneme výsledek: \[ = \frac{1}{mn} \cdot \left[n\frac{m(m-1)}{2}-m\frac{n(n-1)}{2}\right] = \frac{1}{mn} \cdot mn\cdot \left[\frac{m-1}{2}-\frac{n-1}{2}\right] =\] \[= \frac{m-n}{2}\mathrm{.} \]Výsledek
\[\lim_{x\to 1} \left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right) = \frac{m-n}{2}\]kde m, n jsou přirozená čísla.
