Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly
Úloha číslo: 1477
Vydělte polynom \(P(x)=2x^2+4x-1\) polynomem \(Q(x)=x^2+3x\)
Motivace
Dělení polynomu polynomem je algoritmus vedoucí k zjednodušení racionálních lomených funkcí, obvykle využívaný v kombinaci s metodou rozkladu na parciální zlomky při integraci lomených racionálních funkcí.
Proces je obdobný jako při běžném dělení. Jeho výsledkem je obvykle polynom plus lomená racionální funkce s nižším stupněm polynomu v čitateli než před začátkem procesu a zároveň nižším než stupeň polynomu ve jmenovateli zlomku (v podstatě analogie zbytku po běžném dělení dvou čísel).
Nevýhodou dělení polynomu polynomem metodou, známou ze střední školy, je poměrně nepříjemná zdlouhavost celého procesu s možností snadno se dopustit chyby, zejména v případě polynomů vyšších stupňů.
V této úloze si ukážeme, jak mnohdy prosté přičtení chytré nuly, tedy vhodně zvoleného výrazu, jehož celková hodnota je nulová, může vést rychle ke kýženému výsledku.
Vše v rámci hesla: Matematik si svou práci co možná nejvíce zjednodušuje.
Začneme nejjednodušším případem, kdy jsou stupně obou polynomů totožné. Jde navíc o případ, kdy je využití této metody nejefektivnější.
Vhodný zápis výrazu
Výraz zapište jako lomenou racionální funkci.
Chytrá nula
Polynom v čitateli zlomku vhodně upravte a rozšiřte pomocí chytré nuly.
Konečné dělení
Námi upravený zlomek nyní rozdělme na dva zlomky tak, aby byl celkový výsledek dělení původních polynomů patrný na první pohled (ve formě polynom plus zbytek po dělení polynomů).
Řešení
\[\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{2x^2+4x-1}{x^2+3x}=\]Cílem našich úprav bude doplnit polynom v čitateli tak, aby obsahoval polynom ze jmenovatele.
Povšimněme si, že ve jmenovateli zlomku je polynom druhého stupně s nenulovým vedoucím a lineárním členem. V čitateli proto budeme pracovat pouze s kvadratickým a lineárním členem.
Pro přehlednost si zmíněné členy vyznačme červenou závorkou.
\[=\frac{\color{red}{(}2x^2+4x\color{red}{)}-1}{x^2+3x}\]Rovnosti vedoucích koeficientů polynomu v červené závorce a polynomu ve jmenovateli dosáhneme vytknutím dvojky před červenou závorku.
\[=\frac{2\color{red}{(}x^2+2x\color{red}{)}-1}{x^2+3x}\]Výraz v červené závorce nyní rozšíříme o chytrou nulu \((x-x)\).
\[=\frac{2\color{red}{(}x^2+2x+\color{green}{x}-\color{blue}{x}\color{red}{)}-1}{x^2+3x}\]Zelené \(\color{green}{x}\) ponecháme v červené závorce, modré \(\color{blue}{x}\) vyhodíme ven. Těmito kroky v červené závorce vytvoříme exaktní podobu polynomu ve jmenovateli, což bylo i naším cílem.
\[=\frac{2\color{red}{(}x^2+3x\color{red}{)}-2\color{black}{x}-1}{x^2+3x}\]Vydělíme-li člen obsahující červenou závorku výrazem ve jmenovateli, je zjevné, že jako výsledek obdržíme číslo 2. Pro přehlednost uzavřeme oranžovou závorkou všechny sčítance vně červené závorky.
\[=\frac{2\color{red}{(}x^2+3x\color{red}{)}-\color{orange}{(}2x+1\color{orange}{)}}{x^2+3x}\]Celý zlomek nyní roztrhneme na zlomek obsahující červenou a na zlomek obsahují oranžovou závorku. Je zjevné, že zpětným sečtením takto získaných zlomků opět obdržíme původní zlomek.
\[=\frac{2\color{red}{(}x^2+3x\color{red}{)}}{x^2+3x}-\frac{\color{orange}{(}2x+1\color{orange}{)}}{x^2+3x}\]Co lze zkrátit, zkraťme. Získáme tak kýžený výsledek v požadované formě, operace dělení původních polynomů.
\[=2-\frac{2x+1}{x^2+3x}\]Polynom stupně nula plus zbytek, tedy lomenou racionální funkci, kde polynom v čitateli má stupeň nižší než původní polynom v čitateli a zároveň nižší stupeň než polynom ve jmenovateli.
Výsledek
\[2-\frac{2x+1}{x^2+3x}\]Další úloha v sérii
