Sbírka řešených úloh

Per partes I

Úloha číslo: 1526

• Postup integrace pomocí per partes

  O integraci pomocí věty o per partes jsme si pověděli v úloze Per partes

  Postup řešení integrálů pomocí věty o per partes

  \[\int{f^{'}{(x)}g(x)}dx=f(x)g(x)-\int{f(x)g^{'}(x)}dx\]

  1. Nejprve integrovaný výraz vhodně rozdělíme na součin dvou funkcí.
  2. Následně zvolíme funkci, kterou budeme integrovat(vidíme v ní derivaci), poté funkci, kterou budeme derivovat(často polynom, kdy derivací snížíme řád, nebo exponencielu či goniometrickou funkci, kde derivace vede na funkci téhož typu).
  3. Připravíme si příslušnou derivaci a příslušnou primitivní funkci.
  4. Dosadíme a vzniklý integrál buď vyřešíme nebo znovu použijeme větu o integraci per partes.

  Nesmíme zapomenout určit interval/množinu, na níž jsme nalezli primitivní funkci!!!

• Volba funkcí g, f’

  V souladu s postupem, uvedeným výše, integrovaný výraz pomyslně rozdělte na součin dvou funkcí a zvolte, kterou funkci budete integrovat a kterou derivovat.

• Volba funkcí g, f

  V souladu s nápovědou v postupu zvolme funkci \(g\), kterou budeme derivovat jako

  \[g=x\]

  \(x\) je totiž polynom stupně jedna a derivací jeho stupeň klesne na nula (dostaneme konstantu).

  Dále volme funkci \(f^{'}\), kterou budeme integrovat jako

  \[f^{'}=\cos{x}\]

• Příprava pro dosazení

  V souladu s postupem připravte \(g^{'}\) a \(f\) pro následné dosazení.

• Příprava pro dosazení - řešení

  Derivací \(g\) získáme

  \[g^{'}=1\]

  Primitivní funkce k \(f^{'}\) je

  \[f=\sin{x}\]

• Dosazení a integrace

  V souladu s postupem předpřipravené \(g^{'}\) a \(f\) dosaďte do vztahu, popisujícím integraci per partes.

• Dosazení a integrace - řešení

  Po dosazení za f, f’, g a g’ do vztahu

  \[\int{f^{'}{(x)}g(x)}dx=f(x)g(x)-\int{f(x)g^{'}(x)}dx\]

  získáváme

  \[\int{\cos{(x)}x} dx=\sin{(x)}x-\int{\sin{x}1}dx=\]

  a druhý integrál snadno vyřešíme jako tabulkový \(\int \sin{x} dx = -\cos{x} +d\)

  \[=\sin{(x)}x+\cos{x}+c\]

• Řešení

  V souladu s nápovědou v postupu zvolme funkci \(g\), kterou budeme derivovat jako

  \[g=x\]

  \(x\) je totiž polynom stupně jedna a derivací jeho stupeň klesne na nula (dostaneme konstantu).

  Dále volme funkci \(f^{'}\), kterou budeme integrovat jako

  \[f^{'}=\cos{x}\]

  Derivací \(g\) získáme

  \[g^{'}=1\]

  Primitivní funkce k \(f^{'}\) je

  \[f=\sin{x}\]

  Po dosazení za f, f’, g a g’ do vztahu

  \[\int{f^{'}{(x)}g(x)}dx=f(x)g(x)-\int{f(x)g^{'}(x)}dx\]

  získáváme

  \[\int{\cos{(x)}x} dx=\sin{(x)}x-\int{\sin{x}1}dx=\]

  a druhý integrál snadno vyřešíme jako tabulkový \(\int \sin{x} dx = -\cos{x} +d\)

  \[=\sin{(x)}x+\cos{x}+c\]

• Výsledek

  \[I=\sin{(x)}x+\cos{x}+c\]

  řešení nalezeno pro \(x \in \mathbb{R}\)

• Další úlohy s Per Partes

  Pro procvičení pár dalších úloh, kde využijeme poučku o Per Partes

  Urči primitivní funkci metodou per partes

  Urči primitivní funkci metodou per partes I.

  Urči primitivní funkci metodou per partes II.