Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Per partes I

Úloha číslo: 1526

Pomocí per partes určete

\[\int x \cos{x} dx\]
  • Postup integrace pomocí per partes

    O integraci pomocí věty o per partes jsme si pověděli v úloze Per partes

    Postup řešení integrálů pomocí věty o per partes

    \[\int{f^{'}{(x)}g(x)}dx=f(x)g(x)-\int{f(x)g^{'}(x)}dx\]

    1. Nejprve integrovaný výraz vhodně rozdělíme na součin dvou funkcí.
    2. Následně zvolíme funkci, kterou budeme integrovat(vidíme v ní derivaci), poté funkci, kterou budeme derivovat(často polynom, kdy derivací snížíme řád, nebo exponencielu či goniometrickou funkci, kde derivace vede na funkci téhož typu).
    3. Připravíme si příslušnou derivaci a příslušnou primitivní funkci.
    4. Dosadíme a vzniklý integrál buď vyřešíme nebo znovu použijeme větu o integraci per partes.

    Nesmíme zapomenout určit interval/množinu, na níž jsme nalezli primitivní funkci!!!

  • Volba funkcí g, f’

    V souladu s postupem, uvedeným výše, integrovaný výraz pomyslně rozdělte na součin dvou funkcí a zvolte, kterou funkci budete integrovat a kterou derivovat.

  • Příprava pro dosazení

    V souladu s postupem připravte \(g^{'}\) a \(f\) pro následné dosazení.

  • Dosazení a integrace

    V souladu s postupem předpřipravené \(g^{'}\) a \(f\) dosaďte do vztahu, popisujícím integraci per partes.

  • Řešení

    V souladu s nápovědou v postupu zvolme funkci \(g\), kterou budeme derivovat jako

    \[g=x\]

    \(x\) je totiž polynom stupně jedna a derivací jeho stupeň klesne na nula (dostaneme konstantu).

    Dále volme funkci \(f^{'}\), kterou budeme integrovat jako

    \[f^{'}=\cos{x}\]

    Derivací \(g\) získáme

    \[g^{'}=1\]

    Primitivní funkce k \(f^{'}\) je

    \[f=\sin{x}\]

    Po dosazení za f, f’, g a g’ do vztahu

    \[\int{f^{'}{(x)}g(x)}dx=f(x)g(x)-\int{f(x)g^{'}(x)}dx\]

    získáváme

    \[\int{\cos{(x)}x} dx=\sin{(x)}x-\int{\sin{x}1}dx=\]

    a druhý integrál snadno vyřešíme jako tabulkový \(\int \sin{x} dx = -\cos{x} +d\)

    \[=\sin{(x)}x+\cos{x}+c\]
  • Výsledek

    \[I=\sin{(x)}x+\cos{x}+c\]

    řešení nalezeno pro \(x \in \mathbb{R}\)

  • Další úlohy s Per Partes

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze