Neexistence limity posloupnosti
Úloha číslo: 784
Dokažte libovolným způsobem, že limita \(\lim_{\small n\to\infty} (-1)^n\) neexistuje.
Komentář o možných řešeních
Možných řešení lze nalézt mnoho, zejména v závilosti na tom, o jaké znalosti o limitě posloupnosti se přitom opíráme. Zde ukazujeme tři možná řešení — pouze pomocí definic vlastní a nevlastní limity, pomocí věty o limitě vybrané posloupnosti a pomocí Bolzano-Cauchyovy podmínky.
Řešení přímo z definic vlastní a nevlastní limity posloupnosti
1. Nejprve ukážeme, že limita posloupnosti {(–1)n} nemůže být +∞.
Podle definice této nevlastní limity posloupnosti by pak pro libovolné K > 0 musel existovat člen posloupnosti {(–1)n} takový, od něhož počínaje by všechny ostatní členy byly vyšší než číslo K. Vzhledem k tomu, že K lze volit libovolně, stačí vzít například K = 2. Potom neexistuje žádný člen posloupnosti, který by byl větší než K, a tudíž posloupnost {(–1)n} nemůže mít limitu +∞, neboť podmínka v definici není splněna.
2. Z analogického důvodu limita posloupnosti {(–1)n} nemůže být –∞.
Podle definice této nevlastní limity posloupnosti by pak pro libovolné K < 0 musel existovat člen posloupnosti {(–1)n} takový, od něhož počínaje by všechny ostatní členy byly menší než číslo K. Vzhledem k tomu, že K lze volit libovolně, stačí vzít například K = –2. Potom neexistuje žádný člen posloupnosti, který by byl menší než K, a tudíž posloupnost {(–1)n} nemůže mít limitu –∞, neboť podmínka v definici není splněna.
3. Nakonec ukážeme, že posloupnost {(–1)n} nemá ani vlastní limitu.
Předpokládejme pro spor, že číslo L je vlastní limitou posloupnosti {(–1)n}. Potom pro každé ε > 0 existuje člen posloupnosti, od něhož počínaje jsou všechny ostatní členy odlišné od čísla L nejvýše o ono ε.
Volme například ε = 0,5. Potom si uvědomme, že předchozí podmínka nemůže být splněna. V posloupnosti {(–1)n} se střídají pouze dvě čísla, +1 a –1.
Pokud platí, že |L – 1| < 0,5, pak musí být číslo L z intervalu (0,5;1,5).
A naopak, pokud platí, že |L – (–1)| < 0,5, pak musí být číslo L z intervalu (-1,5;-0,5).
Splnit oboje zároveň ovšem není možné, a proto nemůže existovat číslo L takové, které by (od nějakého členu posloupnosti počínaje) mělo ode všech následujících vzdálenost menší než zvolené ε (tj. 0,5), neboť mezi následujícími členy jistě najdeme jak číslo +1, tak číslo –1.
Řešení pomocí věty o limitě vybrané posloupnosti
Věta o limitě vybrané posloupnosti říká, že pokud posloupnost má limitu, pak také každá z ní vybraná posloupnost musí mít tutéž limitu.
Jednoduchým důsledkem této věty je fakt, že lze-li z posloupnosti vybrat dvě posloupnosti s různými limitami, pak původní posloupnost limitu mít nemůže.
Z posloupnosti {(–1)n} lze ovšem snadno vybrat dvě posloupnosti s různými limitami. Pokud vybereme posloupnost všech lichých členů, dostáváme konstantní posloupnost minus jedniček, jejíž limitou je pochopitelně číslo –1. Naopak, pokud vybereme posloupnost všech sudých členů, dostáváme konstantní posloupnost plus jedniček, jejíž limitou je pochopitelně číslo +1.
Řešení pomocí Bolzano-Cauchyovy podmínky
Bolzano-Cauchyova podmínka říká, že posloupnost reálných čísel {an} je konvergentní, právě když pro každé reálné ε > 0 existuje n0 přirozené tak, že pro všechna přirozená čísla n,m > n0 platí, že |am – an| < ε.
Přibližně lze její význam přeložit tak, že od jistého indexu počínaje je rozdíl každých dvou členů vzatých od tohoto indexu výše menší než libovolná předem zvolená mez.
Ukážeme, že Bolzano-Cauchyova podmínka není pro posloupnost {(–1)n} splněna, a to proto, že absolutní hodnota rozdílu dvou po sobě následujících členů je rovna dvěma.
To naznačuje, že postačí volit jakékoliv ε menší než dva, např. ε = 1. Ať je nyní n0 voleno jakkoliv, vezměme n = n0 + 1 a m = n0 + 2. Potom je jedno z čísel an a am rovno jedné a druhé minus jedné, a tudíž |am – an| = 2 > 1 = ε.
