Limita racionální posloupnosti a použití binomické věty V
Úloha číslo: 816
Určete následující limitu
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(1+\frac{1}{n})^{120}-(1+\frac{2}{n})^{80}}{(1-\frac{1}{n})^{100}+(1+\frac{3}{n})^{100}-2}.\]Nápověda
Použijte binomickou větu, v čitateli i jmenovateli určete člen 1/n s nejnižší mocninou, který poté zkraťte.
Řešení
Počítáme limitu
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(1+\frac{1}{n})^{120}-(1+\frac{2}{n})^{80}}{(1-\frac{1}{n})^{100}+(1+\frac{3}{n})^{100}-2}.\]Nelze přímo použít větu o aritmetice limit, neboť bychom došli k výrazu 0/0, který nemá smysl.
Proto nejprve upravíme čitatel i jmenovatel pomocí binomické věty.
Pro závorky v čitateli můžeme podle ní psát
\[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{120} = 1 + \frac{120}{n} + V(n),\]kde
\[V(n) = \frac{v_2}{n^2} + \ldots + \frac{v_{120}}{n^{120}},\]přičemž v2, ..., v120 jsou reálná čísla, která nepotřebujeme přesně vyčíslit.
Pro druhou závorku v čitateli dostaneme analogicky
\[\left(1+\frac{2}{n}\right)^{80} = 1 + \frac{160}{n} + W(n),\]kde
\[W(n) = \frac{w_2}{n^2} + \ldots + \frac{w_{80}}{n^{80}},\]přičemž w2, ..., w80 jsou reálná čísla, která opět nepotřebujeme přesně vyčíslit.
Pro první závorku ve jmenovateli použijeme stejné schéma. Dostaneme
\[\left(1-\frac{1}{n}\right)^{100} = 1 - \frac{100}{n} + Y(n),\]kde
\[Y(n) = \frac{y_2}{n^2} + \ldots + \frac{y_{100}}{n^{100}},\]přičemž y2, ..., y100 jsou reálná čísla, která opět nepotřebujeme přesně vyčíslit.
Pro druhou závorku ve jmenovateli obdržíme
\[\left(1+\frac{3}{n}\right)^{100} = 1 + \frac{300}{n} + Z(n),\]kde
\[Z(n) = \frac{z_2}{n^2} + \ldots + \frac{z_{100}}{n^{100}},\]přičemž z2, ..., z100 jsou reálná čísla, která nepotřebujeme přesně vyčíslit.
Spojíme-li dosažené výsledky dohromady, dostaneme
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(1+\frac{1}{n})^{120}-(1+\frac{2}{n})^{80}}{(1-\frac{1}{n})^{100}+(1+\frac{3}{n})^{100}-2} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{-\frac{40}{n} + V(n) - W(n)}{\frac{200}{n} + Y(n)+Z(n)} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{-40 + nV(n) - nW(n)}{200 + nY(n)+nZ(n)} = \]což použitím věty o aritmetice limit dává
\[ = \frac{-40+0-0}{200+0+0} = -\frac{1}{5}.\]Je tomu tak proto, že všechny limity
\[ \lim_{\small n\to\infty} nV_n, \ \lim_{\small n\to\infty} nW_n, \ \lim_{\small n\to\infty} nY_n, \ \lim_{\small n\to\infty} nZ_n \]jsou podle věty o aritmetice limit rovny nule, neboť např.
\[\lim_{\small n\to\infty} nV_n = \lim_{\small n\to\infty} \left(\frac{v_2}{n}+\cdots+\frac{v_{120}}{n^{119}}\right) = 0 + \cdots + 0 = 0.\]Větu o aritmetice limit můžeme použít, neboť ji aplikujeme na pevný počet sčítanců (indexovaných od 2 do 120, tedy 119) a pravá strana má smysl.
