Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti - komplexní úloha XII
Úloha číslo: 864
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{2^n\ \sqrt{n^2+n} - n\ \sqrt{4^n+1}}{\sqrt[n]{2^{n^2}+1}}.\]Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{2^n\ \sqrt{n^2+n} - n\ \sqrt{4^n+1}}{\sqrt[n]{2^{n^2}+1}} = \]po vytknutí a zkrácení dostaneme
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{2^n\ \sqrt{n^2+n} - n2^n\ \sqrt{1+1/4^n}}{2^n\sqrt[n]{1+1/2^{n^2}}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{\sqrt{n^2+n} - n\sqrt{1+1/4^n}}{\sqrt[n]{1+1/2^{n^2}}} = \]a podle věty o aritmetice limit pak
\[ = \frac{\lim_{\small n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n} - n\sqrt{1+1/4^n}\right)}{\lim_{\small n\to\infty} \left(\sqrt[n]{1+1/2^{n^2}}\right)}.\]Nejprve ukážeme, že limita jmenovatele je rovna jedné. To plyne z úlohy Věta o dvou policajtech, neboť
\[1 \leq \sqrt[n]{1+1/2^{n^2}} \leq \sqrt[n]{1+1},\]přičemž limita jedné je jedna a podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I máme, že též
\[\lim \sqrt[n]{2} = 1.\]Stačí tedy dopočítat limitu čitatele. Po rozšíření
\[\lim_{\small n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n} - n\sqrt{1+1/4^n}\right) = \]dostaneme
\[ = \lim_{\small n\to\infty}\frac{n^2+n - n^2(1+1/4^n)}{\sqrt{n^2+n} + n\sqrt{1+1/4^n}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty}\frac{n - n^2/4^n}{n\sqrt{1+1/n} + n\sqrt{1+1/4^n}} = \]a vytknutí ze jmenovatele a zkrácení dostaneme pomocí věty o aritmetice limit
\[ = \lim_{\small n\to\infty}\frac{1 - n/4^n}{\sqrt{1+1/n} + \sqrt{1+1/4^n}} = \frac{1-0}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}} = \frac{1}{2}.\]Použili jsme přitom úloh Limita posloupnosti - růstová škála na zlomek v čitateli a Limita pod odmocninou I na obě odmocniny ve jmenovateli.
