Sbírka řešených úloh

Limita posloupnosti - komplexní úloha XII

Úloha číslo: 864

• Řešení

  Určujeme limitu posloupnosti

  $$\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{2^n\ \sqrt{n^2+n} - n\ \sqrt{4^n+1}}{\sqrt[n]{2^{n^2}+1}} =$$

  po vytknutí a zkrácení dostaneme

  $$= \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{2^n\ \sqrt{n^2+n} - n2^n\ \sqrt{1+1/4^n}}{2^n\sqrt[n]{1+1/2^{n^2}}} =$$ $$= \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{\sqrt{n^2+n} - n\sqrt{1+1/4^n}}{\sqrt[n]{1+1/2^{n^2}}} =$$

  a podle věty o aritmetice limit pak

  $$= \frac{\lim_{\small n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n} - n\sqrt{1+1/4^n}\right)}{\lim_{\small n\to\infty} \left(\sqrt[n]{1+1/2^{n^2}}\right)}.$$

  Nejprve ukážeme, že limita jmenovatele je rovna jedné. To plyne z úlohy Věta o dvou policajtech, neboť

  $$1 \leq \sqrt[n]{1+1/2^{n^2}} \leq \sqrt[n]{1+1},$$

  přičemž limita jedné je jedna a podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I máme, že též

  $$\lim \sqrt[n]{2} = 1.$$

  Stačí tedy dopočítat limitu čitatele. Po rozšíření

  $$\lim_{\small n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n} - n\sqrt{1+1/4^n}\right) =$$

  dostaneme

  $$= \lim_{\small n\to\infty}\frac{n^2+n - n^2(1+1/4^n)}{\sqrt{n^2+n} + n\sqrt{1+1/4^n}} =$$ $$= \lim_{\small n\to\infty}\frac{n - n^2/4^n}{n\sqrt{1+1/n} + n\sqrt{1+1/4^n}} =$$

  a vytknutí ze jmenovatele a zkrácení dostaneme pomocí věty o aritmetice limit

  $$= \lim_{\small n\to\infty}\frac{1 - n/4^n}{\sqrt{1+1/n} + \sqrt{1+1/4^n}} = \frac{1-0}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}} = \frac{1}{2}.$$

  Použili jsme přitom úloh Limita posloupnosti - růstová škála na zlomek v čitateli a Limita pod odmocninou I na obě odmocniny ve jmenovateli.