Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita cyklometrické funkce IVb.

Úloha číslo: 1193

Určete limitu posloupnosti

\[\lim_{n\to\infty} \left(\frac{\pi}{2}-\arctan 5n\right)\cdot\cot\frac{3}{n}.\]
  • Řešení

    Určujeme limitu posloupnosti

    \[\lim_{n\to\infty} \left(\frac{\pi}{2}-\arctan 5n\right)\cdot\cot\frac{3}{n}.\]

    Z Heineho věty vyplývá, že pokud existuje limita funkce

    \[\lim_{x\to +\infty} \left(\frac{\pi}{2}-\arctan 5x\right)\cdot\cot\frac{3}{x}.\]

    V úloze Základní limity cyklometrických funkcí jsme odvodili, že

    \[\lim_{y\to +\infty} y\cdot\left(\frac{\pi}{2}-\arctan y\right) = 1.\]

    A protože

    \[\lim_{x\to +\infty} 5x = +\infty,\] \[5x \neq +\infty \qquad \textrm{na} \quad (K,+\infty)\]

    kde K reálné můžeme volit dokonce zcela libovolně (ač by stačilo najít jedno takové), z věty o limitě složené funkce plyne, že

    \[<tex>\lim_{x\to +\infty} 5x\cdot\left(\frac{\pi}{2}-\arctan 5x\right) = 1.\]

    Vhodným rozšířením za pomoci věty o aritmetice limit můžeme tudíž psát

    \[\lim_{x\to +\infty} \left(\frac{\pi}{2}-\arctan 5x\right)\cdot\cot\frac{3}{x} = \] \[ = \lim_{x\to +\infty} 5x\cdot \left(\frac{\pi}{2}-\arctan 5x\right)\cdot\frac{\cot\frac{3}{x}}{5x} = \]

    z definice funkce kotangens pak plyne

    \[ = \lim_{x\to +\infty} \frac{\cot\frac{3}{x}}{5x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{\cos\frac{3}{x}}{5x\cdot \sin\frac{3}{x}} = \]

    a opět použitím věty o aritmetice limit a spojitosti kosinu vyplývá, že

    \[ = \frac{\lim_{x\to +\infty} \cos\frac{3}{x}}{\lim_{x\to +\infty} (5x\cdot \sin\frac{3}{x})} = \] \[ = \frac{\cos 0}{\lim_{x\to +\infty} (5x\cdot \sin\frac{3}{x})} = \] \[ = \frac{1}{\lim_{x\to +\infty} (5x\cdot \sin\frac{3}{x})}.\]

    Zbývá určit limitu ve jmenovateli. Za tím účelem pišme

    \[ \lim_{x\to +\infty} 5x\cdot \sin\frac{3}{x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{5}{3}\cdot \frac{\sin\frac{3}{x}}{\frac{3}{x}} = \frac{5}{3},\]

    neboť ukážeme, že limita výrazu napravo je rovna jedné. To plyne z věty o limitě složené funkce, neboť

    \[\lim_{x\to +\infty} \frac{3}{x} = 0,\] \[\lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} = 1,\] \[\frac{3}{x} \neq 0 \qquad \textrm{na libovolném levém okolí } +\infty.\]

    Z toho vyplývá, že

    \[\frac{1}{\lim_{x\to +\infty} (5x\cdot \sin\frac{3}{x})} = \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze