Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita racionální posloupnosti a použití binomické věty VI
Úloha číslo: 817
Určete následující limitu
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(n^2+1)^{100}-(n+2)^{200}+400n^{199}}{1+2+3+4+\cdots+n^{99}}.\]Návod: Užijte vztah pro sečtení všech přirozených čísel od jedničky počínaje do k
\[1+2+3+\cdots+k = \frac{k(k+1)}{2}.\]Řešení
Určujeme limitu
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(n^2+1)^{100}-(n+2)^{200}+400n^{199}}{1+2+3+4+\cdots+n^{99}}.\]Jmenovatel můžeme nahradit podle nápovědy výrazem
\[1+2+3+4+\cdots+n^{99} = \frac{n^{99}(n^{99}+1)}{2} = \frac{n^{198}+n^{99}}{2}\]Čitatel rozepíšeme podle binomické věty.
\[(n^2+1)^{100}-(n+2)^{200}+400n^{199} = \] \[ = \left(n^{200} + 100n^{198} + V(n)\right) - \] \[ - \left(n^{200} + 400n^{199} + \frac{200{\cdot} 199}{1{\cdot} 2}\cdot n^{198}\cdot 2^2 + W(n)\right) + 400n^{199} = \] \[ = -79500n^{198} + V(n)-W(n),\]kde V(n) a W(n) jsou polynomy proměnné n stupně menšího než 198.
Z toho vyplývá, že
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(n^2+1)^{100}-(n+2)^{200}+400n^{199}}{1+2+3+4+\cdots+n^{99}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ 2\cdot \frac{-79500n^{198} + V(n)-W(n)}{n^{198}+n^{99}} = 2\cdot\frac{-79500}{1} = -159\,000,\]neboť limita zlomku je limitou racionální posloupnosti, kde čitatel i jmenovatel je polynom stejného stupně (198). Podle úlohy Limita obecné racionální posloupnosti je taková limita rovna podílu koeficientů u nejvyšších mocnin.
