Přímá integrace I.
Úloha číslo: 1715
Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice \(y'(x)=\frac{2x}{1+x^2}\) na \(\mathbb{R}\). Dále určete řešení vyhovující počáteční podmínce \( y(0)=0 \).
Motivace
Rovnice typu \(y'=f(x)\), přímá integrace
Za předpokladu, že lze pravou stranu rovnice integrovat na intervalu \(I\) (čímž budeme nadále v tomto kontextu rozumět, že k dané funkci lze na \(I\) nalézt příslušnou primitivní funkci), získáme hledané obecné řešení přímou integrací
\[y(x)=\int{f(x)}\mathrm{d}x \,.\]Obdržíme tak
\[y(x)=F(x)+C\,,\]kde \(C\) je integrační konstanta a \(F(x)\) primitivní funkce k \(f(x)\) na \(I\). Řešení celé diferenciální rovnice tak přechází v hledání primitivní funkce.
Nápověda 1.
V souladu s motivačním textem úlohy rozhodněme, zda-li se jedná o diferenciální rovnici vedoucí na přímou integraci.
Nápověda 2.
Zadanou rovnici nyní vyřešme užitím přímé integrace.
Nápověda 2. - řešení
Užitím přímé integrace získáváme
\[ y=\int{\frac{2x}{1+x^2}}\mathrm{d} x \,. \]Pro řešení integrálu dále zavedeme substituci \(w=1+x^2\) , kde \(\mathrm{d} w=2x \mathrm{d} x\) . Získáme tak
\[ y=\int{\frac{\mathrm{d} w}{w}} = \ln{|w|}+C \,,\]po zpětné substituci pak
\[y=\ln{|1+x^2|}+C\,,\]kde \(C\) je integrační konstanta.
Absolutní hodnotu v argumentu logaritmu můžeme vypustit, neboť \((1+x^2) > 0\) pro všechna reálná čísla. Námi hledané obecné řešení proto bude mít na \(\mathbb{R}\) tvar
\[y= \ln{(1+x^2)}+C\,.\]Nápověda 3.
Vhodnou volbou konstanty \(C\) nyní pomocí získaného obecného řešení určeme partikulární řešení vyhovující dané počáteční podmínce.
Řešení
Zadaná rovnice je patrně tvaru \(y'(x)=f(x)\). Funkce \(f(x)=\frac{2x}{1+x^2}\) je dále definovaná a spojitá na \( \mathbb{R} \). Lze ji tudíž bez problému integrovat
Užitím přímé integrace získáváme
\[ y=\int{\frac{2x}{1+x^2}}\mathrm{d} x \,. \]Pro řešení integrálu dále zavedeme substituci \(w=1+x^2\) , kde \(\mathrm{d} w=2x \mathrm{d} x\) . Získáme tak
\[ y=\int{\frac{\mathrm{d} w}{w}} = \ln{|w|}+C \,,\]po zpětné substituci pak
\[y=\ln{|1+x^2|}+C\,,\]kde \(C\) je integrační konstanta.
Absolutní hodnotu v argumentu logaritmu můžeme vypustit, neboť \((1+x^2) > 0\) pro všechna reálná čísla. Námi hledané obecné řešení proto bude mít na \(\mathbb{R}\) tvar
\[y= \ln{(1+x^2)}+C\,.\]Dalším úkolem bylo určit partikulární řešení vyhovující počáteční podmínce \( y(0)=0 \). Pro tento účel využijeme získané obecné řešení, kdy pro konkrétní podobu konstanty \(C\) položíme \(x=0\) . Nebo-li
\[y(0)= \ln{(1+0^2)}+C \Rightarrow 0 = \ln (1) + C \Rightarrow C= 0\,.\]Pro hledané partikulární řešení vyhovující dané počáteční podmínce tak konečně bude platit
\[ y= \ln{(1+x^2)}\,.\]
