Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Cena zboží (Lineární rovnice se speciální pravou stranou)

Úloha číslo: 1887

Cena zboží \(C(t)\) v čase \(t\) se upravuje na základě převisu mezi nabídkou a poptávkou. Označíme-li \(N(t)\) počet nabízených kusů a \(P(t)\) počet kusů poptávaných, bude změna ceny zboží zachycena rovnicí

\[\dot{C}=\alpha(P-N) ;\, \alpha> 0\,.\]

Bude-li nabídka \(N\) vyšší než poptávka \(P\), reakcí bude tlak na snížení ceny. Bude-li naopak poptávka \(P\) vyšší než nabídka \(N\), reakcí bude navýšení ceny. Konstanta \(\alpha\) přitom udává míru závislosti změny ceny na rozdílu mezi \(P\) a \(N\).

Určete funkci \(C(t)\), předpokládáte-li nejen tlak na snížení ceny v důsledku převisu nabídky nad poptávkou, ale i v důsledku nahromadění zásoby neprodaného zboží. Pro jednoduchost dále předpokládejte, že funkce \(P(t)\), \(N(t)\) jsou spojitě diferencovatelné, že v případě převisu poptávky nad nabídkou bude poptávka vždy uspokojena zbožím z rezerv, a že zásoby neprodaného zboží jsou nezáporné, tj. budou souviset pouze s tlakem na snížení ceny zboží. Konečně uvažme pouze situaci, kdy poptávka po jednotce zboží znamená výrobu jednotky zboží.

  • Hromadění zásob

    Určete integrál, jímž lze zachytit zásobu nahromaděného zboží.

  • Diferenciální rovnice

    Za předpokladu, že uvážíme lineární závislosti mezi \(P(t)\), \(C(t)\) a \(N(t)\), \(C(t)\), vydobuďte ze získaných informací diferenciální rovnici.

  • Homogenní rovnice

    V souladu s postupem osvojeným v úloze Lineární rovnice s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou I. nejprve vyřešte příslušnou homogenní rovnici.

  • Rovnice s pravou stranou

    Pomocí získaného řešení homogenní rovnice určete partikulární a následně i obecné řešení rovnice s pravou stranou.

  • Řešení

    Nejprve vyjádříme zásobu neprodaného zboží nahromaděnou za čas \(t\). Můžeme ji zachytit integrálem

    \[Z(t)=\int\limits_{0}^{t}\bigl(N(s)-P(s)\bigr)ds \,.\]

    (Tedy jako souhrnný rozdíl mezi nabízeným a poptávaným zbožím na časovém intervalu \((0,t)\)).

    Původní rovnici tak rozšíříme na

    \[\dot{C}=\alpha(P-N) - \beta\int\limits_{0}^{t}\bigl(N(s)-P(s)\bigr)ds; \beta > 0\,.\]

    Nově přidaný člen přitom určuje úpravu ceny v důsledku nahromadění zásoby neprodaného zboží v předchozím období. Konstanta \(\beta\) pak obdobně jako \(\alpha\) udává míru této závislosti.

    Abychom se zbavili integrálu, rovnici derivujeme dle \(t\). Obdržíme

    \[\ddot{C}=\alpha(\dot{P}-\dot{N}) - \beta(N-P)\,.\]

    Předpokládáme-li dále lineární závislosti mezi \(P(t)\), \(C(t)\) a \(N(t)\), \(C(t)\), získáme

    \[\begin{align*} P(t)&=a+bC(t) \Rightarrow \dot{P} = b\dot{C}\\ N(t)&=c+dC(t) \Rightarrow \dot{N} = d\dot{C}\,. \end{align*}\]

    S využitím těchto poznatků tak řešenou rovnici převedeme na

    \[\ddot{C}=\alpha(b\dot{C}-d\dot{C}) - \beta(c+dC-a-bC)\,,\]

    po dalších úpravách pak na

    \[\ddot{C}+\alpha(d-b)\dot{C}+\beta(d-b)C=\beta(a-c)\,.\]

    Tímto způsobem jsme dospěli k lineární diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou.

    Nejprve se tedy zaměříme na obecné řešení homogenní rovnice

    \[\ddot{C}+\alpha(d-b)\dot{C}+\beta(d-b)C=0\,.\]

    Charakteristickou rovnici tedy určujeme jako

    \[\lambda^2+\alpha(d-b)\lambda+\beta(d-b)C=0\]

    a jí příslušné kořeny, jež uvažujeme reálné a navzájem různé, pak jako

    \[\lambda_{1{,}2}=\frac{-\alpha(d-b)\pm \sqrt{\alpha^2(d-b)^2-4\beta(d-b)}}{2} \,.\]

    Omezíme-li se dále na značení \(\lambda_{1}\), \(\lambda_{2}\), pro obecné řešení homogenní rovnice získáme vztah

    \[C_h=c_1\mathrm{e}^{\lambda_1t}+c_2\mathrm{e}^{\lambda_2t} \,.\]

    Svou pozornost následně obraťme na partikulární řešení rovnice s pravou stranou

    \[\ddot{C}+\alpha(d-b)\dot{C}+\beta(d-b)C=\beta(a-c)\,.\]

    Jelikož je pravá strana tvořena polynomem stupně nula a \(0\) není kořenem charakteristické rovnice, navrhujeme partikulární řešení ve tvaru

    \[C_p=K ;\,K \in \mathbb{R}\,.\]

    Vyjádříme potřebné derivace

    \[\dot{C}_p=0 \Rightarrow \ddot{C}_p=0\]

    a po dosazení \( C_p \), \(\dot{C}_p\) a \(\ddot{C}_p\) do řešené rovnice získáme

    \[\beta(d-b)K=\beta(a-c)\Rightarrow K=\frac{a-c}{d-b} \,.\]

    Pro hledané obecné řešení nehomogenní rovnice tak celkově platí

    \[C(t)=C_h+C_p=c_1\mathrm{e}^{\lambda_1t}+c_2\mathrm{e}^{\lambda_2t} +\frac{a-c}{d-b}\,.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze