Cena zboží (Lineární rovnice se speciální pravou stranou)
Úloha číslo: 1887
Cena zboží \(C(t)\) v čase \(t\) se upravuje na základě převisu mezi nabídkou a poptávkou. Označíme-li \(N(t)\) počet nabízených kusů a \(P(t)\) počet kusů poptávaných, bude změna ceny zboží zachycena rovnicí
\[\dot{C}=\alpha(P-N) ;\, \alpha> 0\,.\]Bude-li nabídka \(N\) vyšší než poptávka \(P\), reakcí bude tlak na snížení ceny. Bude-li naopak poptávka \(P\) vyšší než nabídka \(N\), reakcí bude navýšení ceny. Konstanta \(\alpha\) přitom udává míru závislosti změny ceny na rozdílu mezi \(P\) a \(N\).
Určete funkci \(C(t)\), předpokládáte-li nejen tlak na snížení ceny v důsledku převisu nabídky nad poptávkou, ale i v důsledku nahromadění zásoby neprodaného zboží. Pro jednoduchost dále předpokládejte, že funkce \(P(t)\), \(N(t)\) jsou spojitě diferencovatelné, že v případě převisu poptávky nad nabídkou bude poptávka vždy uspokojena zbožím z rezerv, a že zásoby neprodaného zboží jsou nezáporné, tj. budou souviset pouze s tlakem na snížení ceny zboží. Konečně uvažme pouze situaci, kdy poptávka po jednotce zboží znamená výrobu jednotky zboží.
Hromadění zásob
Určete integrál, jímž lze zachytit zásobu nahromaděného zboží.
Diferenciální rovnice
Za předpokladu, že uvážíme lineární závislosti mezi \(P(t)\), \(C(t)\) a \(N(t)\), \(C(t)\), vydobuďte ze získaných informací diferenciální rovnici.
Homogenní rovnice
V souladu s postupem osvojeným v úloze Lineární rovnice s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou I. nejprve vyřešte příslušnou homogenní rovnici.
Rovnice s pravou stranou
Pomocí získaného řešení homogenní rovnice určete partikulární a následně i obecné řešení rovnice s pravou stranou.
Řešení
Nejprve vyjádříme zásobu neprodaného zboží nahromaděnou za čas \(t\). Můžeme ji zachytit integrálem
\[Z(t)=\int\limits_{0}^{t}\bigl(N(s)-P(s)\bigr)ds \,.\](Tedy jako souhrnný rozdíl mezi nabízeným a poptávaným zbožím na časovém intervalu \((0,t)\)).
Původní rovnici tak rozšíříme na
\[\dot{C}=\alpha(P-N) - \beta\int\limits_{0}^{t}\bigl(N(s)-P(s)\bigr)ds; \beta > 0\,.\]Nově přidaný člen přitom určuje úpravu ceny v důsledku nahromadění zásoby neprodaného zboží v předchozím období. Konstanta \(\beta\) pak obdobně jako \(\alpha\) udává míru této závislosti.
Abychom se zbavili integrálu, rovnici derivujeme dle \(t\). Obdržíme
\[\ddot{C}=\alpha(\dot{P}-\dot{N}) - \beta(N-P)\,.\]Předpokládáme-li dále lineární závislosti mezi \(P(t)\), \(C(t)\) a \(N(t)\), \(C(t)\), získáme
\[\begin{align*} P(t)&=a+bC(t) \Rightarrow \dot{P} = b\dot{C}\\ N(t)&=c+dC(t) \Rightarrow \dot{N} = d\dot{C}\,. \end{align*}\]S využitím těchto poznatků tak řešenou rovnici převedeme na
\[\ddot{C}=\alpha(b\dot{C}-d\dot{C}) - \beta(c+dC-a-bC)\,,\]po dalších úpravách pak na
\[\ddot{C}+\alpha(d-b)\dot{C}+\beta(d-b)C=\beta(a-c)\,.\]Tímto způsobem jsme dospěli k lineární diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou.
Nejprve se tedy zaměříme na obecné řešení homogenní rovnice
\[\ddot{C}+\alpha(d-b)\dot{C}+\beta(d-b)C=0\,.\]Charakteristickou rovnici tedy určujeme jako
\[\lambda^2+\alpha(d-b)\lambda+\beta(d-b)C=0\]a jí příslušné kořeny, jež uvažujeme reálné a navzájem různé, pak jako
\[\lambda_{1{,}2}=\frac{-\alpha(d-b)\pm \sqrt{\alpha^2(d-b)^2-4\beta(d-b)}}{2} \,.\]Omezíme-li se dále na značení \(\lambda_{1}\), \(\lambda_{2}\), pro obecné řešení homogenní rovnice získáme vztah
\[C_h=c_1\mathrm{e}^{\lambda_1t}+c_2\mathrm{e}^{\lambda_2t} \,.\]Svou pozornost následně obraťme na partikulární řešení rovnice s pravou stranou
\[\ddot{C}+\alpha(d-b)\dot{C}+\beta(d-b)C=\beta(a-c)\,.\]Jelikož je pravá strana tvořena polynomem stupně nula a \(0\) není kořenem charakteristické rovnice, navrhujeme partikulární řešení ve tvaru
\[C_p=K ;\,K \in \mathbb{R}\,.\]Vyjádříme potřebné derivace
\[\dot{C}_p=0 \Rightarrow \ddot{C}_p=0\]a po dosazení \( C_p \), \(\dot{C}_p\) a \(\ddot{C}_p\) do řešené rovnice získáme
\[\beta(d-b)K=\beta(a-c)\Rightarrow K=\frac{a-c}{d-b} \,.\]Pro hledané obecné řešení nehomogenní rovnice tak celkově platí
\[C(t)=C_h+C_p=c_1\mathrm{e}^{\lambda_1t}+c_2\mathrm{e}^{\lambda_2t} +\frac{a-c}{d-b}\,.\]
