Limita funkce umocněné na jinou funkci I.
Úloha číslo: 1218
Nápověda 1
Je zřejmé, že prosté dosazení \(x=0\) nepovede k cíli. Neboť se obecně s odmocninami hůře pracuje, přepište ji jako mocninu s racionálním exponentem.
Dále použijte „exponenciální trik“, tj. výraz přepište užitím vzorce \(a^b = e^{b\cdot \ln a}\).
Nápověda 2
Všimněte si, že vnější funkce, tj. exponeciála je spojitá na \(\mathbb{R}\). Je tedy splněna podmínka (S) a dle věty o limitě složené funkce lze limitu „vnořit“. Proveďte.Nápověda 3
Připomeňte si důležitou limitu pro logaritmus
\[ \lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1} = 1 \]a rozšiřte výraz tak, aby bylo možné po zavedení substituce limitu dopočítat.
Nápověda 4
Užijte vhodně větu o aritmetice limit. Pro druhou limitu v součinu zaveďte substituci \(y = 1-2x\), ověřte její korektnost užití, použijte známou limitu pro logaritmus a limitu dopočítejte.CELKOVÉ ŘEŠENÍ
Odmocninu převedeme na mocninu s racionálním exponentem
\[ \lim\limits_{x\to 0} \sqrt[x]{1-2x} = \lim\limits_{x\to 0} {(1-2x)^{\frac{1}{x}}} \mathrm{.} \]Výraz v limitě upravíme užitím vztahu \(a^b = e^{b\cdot\ln a}\)
\[ \lim\limits_{x\to 0} {(1-2x)^{\frac{1}{x}}} = \lim\limits_{x\to 0} \mathrm{exp}\left[{\frac{\ln (1-2x)}{x}}\right] \mathrm{.} \]Exponenciála je spojitá na \(\mathbb{R}\). Je tedy splněna podmínka (S) pro „vnoření limity“ a dle věty o limitě složené funkce lze psát
\[ \lim\limits_{x\to 0} \mathrm{exp}\left[{\frac{\ln (1-2x)}{x}}\right] = \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0} {\frac{\ln (1-2x)}{x}}\right] \mathrm{.} \]Výraz rozšíříme „chytrou jedničkou“, aby se příklad převedl na limitu typu \( \lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1} = 1 \)
\[ \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0} {\frac{\ln (1-2x)}{x}}\right] = \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0} {\frac{-2\cdot\ln (1-2x)}{-2x}}\right]. \]Dle aritmetiky limit, bude-li mít výsledný výraz smysl, můžeme psát
\[ \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0} {\frac{-2\cdot\ln (1-2x)}{-2x}}\right]= \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0}\left(-2\right)\cdot \lim\limits_{x\to 0} {\frac{\ln (1-2x)}{-2x}}\right]. \]Zavedeme substituci \(y = 1-2x\) a ověříme podmínku (P) pro užití věty o limitě složené funkce
\[x \to 0,\quad \left( 1-2x\right) \to 1 \ne 1, \]dostáváme tedy
\[ \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0}\left(-2\right)\cdot \lim\limits_{x\to 0} {\frac{\ln (1-2x)}{-2x}}\right] = \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0}\left(-2\right)\cdot \lim\limits_{y\to 1} {\frac{\ln y}{y-1}}\right]. \]Užitím známé limity pro logaritmus a dopočítáním získáme výsledek
\[ \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0}\left(-2\right)\cdot \lim\limits_{y\to 1} {\frac{\ln y}{y-1}}\right] = \mathrm{exp}\left(-2{\cdot}1\right) = e^{-2}. \]CELKOVÉ ŘEŠENÍ - alternativní
Alternativně lze úloha řešit užitím ekvivalence \[ \lim_{x\to0+}f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{y\to\infty}f\left(\frac{1}{y}\right)=L. \]
Vypočítáme tedy limitu zleva \[ \lim_{x\to 0+} \sqrt[x]{1-2x} = \lim_{x\to 0+} (1-2x)^{1/x} = \lim_{y\to+\infty} \left(1-\frac{2}{y}\right)^y = e^{-2} \] a limitu zprava \[ \lim_{x\to 0-} \sqrt[x]{1-2x} = \lim_{x\to 0-} (1-2x)^{1/x} = \lim_{y\to -\infty} \left(1-\frac{2}{y}\right)^y = e^{-2}. \] Z rovnosti jednostranných limit plyne, že existuje oboustranná a je jim rovna.Výsledek
\[ \lim\limits_{x\to 0} \sqrt[x]{1-2x} = e^{-2} \mathrm{.} \]
