Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita funkce umocněné na jinou funkci I.

Úloha číslo: 1218

Vypočtěte limitu: \[ \lim\limits_{x\to 0} \sqrt[x]{1-2x} \mathrm{.} \]
  • Nápověda 1

    Je zřejmé, že prosté dosazení \(x=0\) nepovede k cíli. Neboť se obecně s odmocninami hůře pracuje, přepište ji jako mocninu s racionálním exponentem.

    Dále použijte „exponenciální trik“, tj. výraz přepište užitím vzorce \(a^b = e^{b\cdot \ln a}\).

  • Nápověda 2

    Všimněte si, že vnější funkce, tj. exponeciála je spojitá na \(\mathbb{R}\). Je tedy splněna podmínka (S) a dle věty o limitě složené funkce lze limitu „vnořit“. Proveďte.
  • Nápověda 3

    Připomeňte si důležitou limitu pro logaritmus

    \[ \lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1} = 1 \]

    a rozšiřte výraz tak, aby bylo možné po zavedení substituce limitu dopočítat.

  • Nápověda 4

    Užijte vhodně větu o aritmetice limit. Pro druhou limitu v součinu zaveďte substituci \(y = 1-2x\), ověřte její korektnost užití, použijte známou limitu pro logaritmus a limitu dopočítejte.
  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Odmocninu převedeme na mocninu s racionálním exponentem

    \[ \lim\limits_{x\to 0} \sqrt[x]{1-2x} = \lim\limits_{x\to 0} {(1-2x)^{\frac{1}{x}}} \mathrm{.} \]

    Výraz v limitě upravíme užitím vztahu \(a^b = e^{b\cdot\ln a}\)

    \[ \lim\limits_{x\to 0} {(1-2x)^{\frac{1}{x}}} = \lim\limits_{x\to 0} \mathrm{exp}\left[{\frac{\ln (1-2x)}{x}}\right] \mathrm{.} \]

    Exponenciála je spojitá na \(\mathbb{R}\). Je tedy splněna podmínka (S) pro „vnoření limity“ a dle věty o limitě složené funkce lze psát

    \[ \lim\limits_{x\to 0} \mathrm{exp}\left[{\frac{\ln (1-2x)}{x}}\right] = \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0} {\frac{\ln (1-2x)}{x}}\right] \mathrm{.} \]

    Výraz rozšíříme „chytrou jedničkou“, aby se příklad převedl na limitu typu \( \lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1} = 1 \)

    \[ \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0} {\frac{\ln (1-2x)}{x}}\right] = \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0} {\frac{-2\cdot\ln (1-2x)}{-2x}}\right]. \]

    Dle aritmetiky limit, bude-li mít výsledný výraz smysl, můžeme psát

    \[ \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0} {\frac{-2\cdot\ln (1-2x)}{-2x}}\right]= \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0}\left(-2\right)\cdot \lim\limits_{x\to 0} {\frac{\ln (1-2x)}{-2x}}\right]. \]

    Zavedeme substituci \(y = 1-2x\) a ověříme podmínku (P) pro užití věty o limitě složené funkce

    \[x \to 0,\quad \left( 1-2x\right) \to 1 \ne 1, \]

    dostáváme tedy

    \[ \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0}\left(-2\right)\cdot \lim\limits_{x\to 0} {\frac{\ln (1-2x)}{-2x}}\right] = \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0}\left(-2\right)\cdot \lim\limits_{y\to 1} {\frac{\ln y}{y-1}}\right]. \]

    Užitím známé limity pro logaritmus a dopočítáním získáme výsledek

    \[ \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0}\left(-2\right)\cdot \lim\limits_{y\to 1} {\frac{\ln y}{y-1}}\right] = \mathrm{exp}\left(-2{\cdot}1\right) = e^{-2}. \]
  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ - alternativní

    Alternativně lze úloha řešit užitím ekvivalence \[ \lim_{x\to0+}f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{y\to\infty}f\left(\frac{1}{y}\right)=L. \]
    Vypočítáme tedy limitu zleva \[ \lim_{x\to 0+} \sqrt[x]{1-2x} = \lim_{x\to 0+} (1-2x)^{1/x} = \lim_{y\to+\infty} \left(1-\frac{2}{y}\right)^y = e^{-2} \] a limitu zprava \[ \lim_{x\to 0-} \sqrt[x]{1-2x} = \lim_{x\to 0-} (1-2x)^{1/x} = \lim_{y\to -\infty} \left(1-\frac{2}{y}\right)^y = e^{-2}. \] Z rovnosti jednostranných limit plyne, že existuje oboustranná a je jim rovna.
  • Výsledek

    \[ \lim\limits_{x\to 0} \sqrt[x]{1-2x} = e^{-2} \mathrm{.} \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze