Sbírka řešených úloh

Limita funkce umocněné na jinou funkci I.

Úloha číslo: 1218

• Nápověda 1

  Je zřejmé, že prosté dosazení $x=0$ nepovede k cíli. Neboť se obecně s odmocninami hůře pracuje, přepište ji jako mocninu s racionálním exponentem.

  Dále použijte „exponenciální trik“, tj. výraz přepište užitím vzorce $a^b = e^{b\cdot \ln a}$.

• Řešení nápovědy 1

  Odmocninu převedeme na mocninu s racionálním exponentem

  $$\lim\limits_{x\to 0} \sqrt[x]{1-2x} = \lim\limits_{x\to 0} {(1-2x)^{\frac{1}{x}}} \mathrm{.}$$

  Výraz v limitě upravíme užitím vztahu $a^b = e^{b\cdot\ln a}$

  $$\lim\limits_{x\to 0} {(1-2x)^{\frac{1}{x}}} = \lim\limits_{x\to 0} \mathrm{exp}\left[{\frac{\ln (1-2x)}{x}}\right] \mathrm{.}$$

• Nápověda 2

  Všimněte si, že vnější funkce, tj. exponeciála je spojitá na $\mathbb{R}$. Je tedy splněna podmínka (S) a dle věty o limitě složené funkce lze limitu „vnořit“. Proveďte.

• Řešení nápovědy 2

  Exponenciála je spojitá na $\mathbb{R}$. Je tedy splněna podmínka (S) pro „vnoření limity“ a dle věty o limitě složené funkce lze psát

  $$\lim\limits_{x\to 0} \mathrm{exp}\left[{\frac{\ln (1-2x)}{x}}\right] = \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0} {\frac{\ln (1-2x)}{x}}\right] \mathrm{.}$$

• Nápověda 3

  Připomeňte si důležitou limitu pro logaritmus

  $$\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1} = 1$$

  a rozšiřte výraz tak, aby bylo možné po zavedení substituce limitu dopočítat.

• Řešení nápovědy 3

  Výraz rozšíříme „chytrou jedničkou“, aby se příklad převedl na limitu typu $\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1} = 1$

  $$\mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0} {\frac{\ln (1-2x)}{x}}\right] = \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0} {\frac{-2\cdot\ln (1-2x)}{-2x}}\right].$$

• Nápověda 4

  Užijte vhodně větu o aritmetice limit. Pro druhou limitu v součinu zaveďte substituci $y = 1-2x$, ověřte její korektnost užití, použijte známou limitu pro logaritmus a limitu dopočítejte.

• Řešení nápovědy 4

  Dle aritmetiky limit, bude-li mít výsledný výraz smysl, můžeme psát

  $$\mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0} {\frac{-2\cdot\ln (1-2x)}{-2x}}\right]= \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0}\left(-2\right)\cdot \lim\limits_{x\to 0} {\frac{\ln (1-2x)}{-2x}}\right].$$

  Zavedeme substituci $y = 1-2x$ a ověříme podmínku (P) pro užití věty o limitě složené funkce

  $$x \to 0,\quad \left( 1-2x\right) \to 1 \ne 1.$$

  Dostáváme tedy

  $$\mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0}\left(-2\right)\cdot \lim\limits_{x\to 0} {\frac{\ln (1-2x)}{-2x}}\right] = \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0}\left(-2\right)\cdot \lim\limits_{y\to 1} {\frac{\ln y}{y-1}}\right].$$

  Užitím známé limity pro logaritmus a dopočítáním získáme výsledek

  $$\mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0}\left(-2\right)\cdot \lim\limits_{y\to 1} {\frac{\ln y}{y-1}}\right] = \mathrm{exp}\left(-2{\cdot}1\right) = e^{-2}.$$

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Odmocninu převedeme na mocninu s racionálním exponentem

  $$\lim\limits_{x\to 0} \sqrt[x]{1-2x} = \lim\limits_{x\to 0} {(1-2x)^{\frac{1}{x}}} \mathrm{.}$$

  Výraz v limitě upravíme užitím vztahu $a^b = e^{b\cdot\ln a}$

  $$\lim\limits_{x\to 0} {(1-2x)^{\frac{1}{x}}} = \lim\limits_{x\to 0} \mathrm{exp}\left[{\frac{\ln (1-2x)}{x}}\right] \mathrm{.}$$

  Exponenciála je spojitá na $\mathbb{R}$. Je tedy splněna podmínka (S) pro „vnoření limity“ a dle věty o limitě složené funkce lze psát

  $$\lim\limits_{x\to 0} \mathrm{exp}\left[{\frac{\ln (1-2x)}{x}}\right] = \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0} {\frac{\ln (1-2x)}{x}}\right] \mathrm{.}$$

  Výraz rozšíříme „chytrou jedničkou“, aby se příklad převedl na limitu typu $\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1} = 1$

  $$\mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0} {\frac{\ln (1-2x)}{x}}\right] = \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0} {\frac{-2\cdot\ln (1-2x)}{-2x}}\right].$$

  Dle aritmetiky limit, bude-li mít výsledný výraz smysl, můžeme psát

  $$\mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0} {\frac{-2\cdot\ln (1-2x)}{-2x}}\right]= \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0}\left(-2\right)\cdot \lim\limits_{x\to 0} {\frac{\ln (1-2x)}{-2x}}\right].$$

  Zavedeme substituci $y = 1-2x$ a ověříme podmínku (P) pro užití věty o limitě složené funkce

  $$x \to 0,\quad \left( 1-2x\right) \to 1 \ne 1,$$

  dostáváme tedy

  $$\mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0}\left(-2\right)\cdot \lim\limits_{x\to 0} {\frac{\ln (1-2x)}{-2x}}\right] = \mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0}\left(-2\right)\cdot \lim\limits_{y\to 1} {\frac{\ln y}{y-1}}\right].$$

  Užitím známé limity pro logaritmus a dopočítáním získáme výsledek

  $$\mathrm{exp}\left[\lim\limits_{x\to 0}\left(-2\right)\cdot \lim\limits_{y\to 1} {\frac{\ln y}{y-1}}\right] = \mathrm{exp}\left(-2{\cdot}1\right) = e^{-2}.$$

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ - alternativní

  Alternativně lze úloha řešit užitím ekvivalence $$\lim_{x\to0+}f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{y\to\infty}f\left(\frac{1}{y}\right)=L.$$

  ---

  Vypočítáme tedy limitu zleva $$\lim_{x\to 0+} \sqrt[x]{1-2x} = \lim_{x\to 0+} (1-2x)^{1/x} = \lim_{y\to+\infty} \left(1-\frac{2}{y}\right)^y = e^{-2}$$ a limitu zprava $$\lim_{x\to 0-} \sqrt[x]{1-2x} = \lim_{x\to 0-} (1-2x)^{1/x} = \lim_{y\to -\infty} \left(1-\frac{2}{y}\right)^y = e^{-2}.$$ Z rovnosti jednostranných limit plyne, že existuje oboustranná a je jim rovna.

• Výsledek

  $$\lim\limits_{x\to 0} \sqrt[x]{1-2x} = e^{-2} \mathrm{.}$$