Limita posloupnosti - růstová škála
Úloha číslo: 870
Dokažte, že pro libovolná reálná čísla a > 1 a β > 0 platí:
(a) \[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n!}{n^n} = 0.\]
(b) \[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{a^n}{n!} = 0.\]
(c) \[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n^\beta}{a^n} = 0.\]
Poznámka: Pro libovolná reálná čísla α > 0 a β > 0 platí také
(d) \[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{\ln^\alpha n}{n^\beta} = 0,\]
důkaz prostředky, které poskytuje pouze teorie o limitě posloupnosti, je ovšem poměrně dlouhý a obtížný. Teorie pro limitu funkce v kombinaci s Heineho větou, která popisuje vztah mezi limitou funkce a limitou posloupnosti, poskytuje elegantní jednořádkový důkaz pomocí záměny n za log n v části (c).
Řešení
(a) Použijeme větu o dvou policajtech (viz úloha Věta o dvou policajtech. Platí totiž, že
\[0 \leq \frac{n!}{n^n} = \frac{1{\cdot} 2\cdot \ldots \cdot (n-1)\cdot n}{n\cdot n\cdot \ldots \cdot n\cdot n} = \frac{1}{n}\frac{2}{n}\cdots\frac{n-1}{n} \leq \frac{1}{n},\]přičemž posloupnosti {0} a {1/n}} konvergují k nule.
Poznamenejme, že alternativně se dá použít i limitní verze podílového testu (viz úloha Limita posloupnosti - limitní podílové kritérium). K tomu je ovšem potřeba znát následující limitu
\[\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n = 1/e,\]kde e je tzv. Eulerovo číslo, přičemž platí, že e > 1.
(b) Použije se limitní verze podílového testu (viz úloha Limita posloupnosti - limitní podílové kritérium). Platí totiž
\[\lim_{n\to+\infty} \frac{\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{a^n}{n!}} = \lim_{n\to+\infty} \frac{a^{n+1}}{a^n}\frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n\to+\infty} \frac{a}{n+1} = 0 < 1.\](c) Označme
\[a_n = \frac{n^\beta}{a^n}.\]Stačí opět použít limitní verzi podílového testu (viz úloha Limita posloupnosti - limitní podílové kritérium). Platí totiž, že
\[\lim_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to+\infty} \frac{\frac{(n+1)^\beta}{a^{n+1}}}{\frac{n^\beta}{a^n}} =\] \[ = \lim_{n\to+\infty} \frac{(n+1)^\beta}{n^\beta} \cdot \frac{a^n}{a^{n+1}} = \frac{1}{a}\cdot \lim_{n\to+\infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^\beta = \frac{1}{a} < 1.\]Dodejme, že
\[\lim\ \left(\frac{n+1}{n}\right)^\beta = 1^\beta = 1\]plyne z poznámky k úloze Limita pod odmocninou II.
