Sbírka řešených úloh

Urči primitivní funkci metodou per partes

Úloha číslo: 1270

• Rozbor

  Máme-li určit neurčitý integrál ze součinu dvou funkcí, z nichž jedna se dobře derivuje a druhá naopak dobře integruje, pak většinou řešení takovéto úlohy směřuje právě na metodu řešení per partes, viz úloha Per partes

  U podobných úloh je dobré, pečlivě si rozmyslet, kterou funkci je výhodné derivovat a kterou naopak integrovat, čímž se vyhneme zbytečnému stěžování zadaného problému, neboť per partes má vest k zjednodušení řešeného integrálu.

• Nápověda

  Pomocí známých neurčitých integrálů Přehled základních primitivních funkcí a známých základních derivací Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné určete metodou per partes Per partes zadaný neurčitý integrál.

• Řešení

  Jak bylo řečeno, pak při řešení neurčitého integrálu \(\int{xe^x}dx\) metodou per partes, je třeba zvolit jednu funkci, již budeme derivovat a druhou, kterou budeme naopak integrovat.

  Exponenciální funkce se v tomto případě integruje stejně snadno jako derivuje, avšak derivováním lineární funkce získáváme jednodušší funkci konstatní - naproti tomu integrace této funkce by vedla ke zesložitění integrálu.

  Zopakujme nejprve metodu per partes:

  \[\int{f^{'}{x}g(x)}dx=f(x)g(x)-\int{f(x)g^{'}(x)}dx\]

  Zvolme tedy \(x\) jako g(x), kterou budeme derivovat a funkci \(e^x(x)\) jako \(f^{'}(x)\), již budeme integrovat.

  Nejprve pomocí Přehled základních primitivních funkcí určíme primitivní funkci k \(f^{'}(x)\) jako:

  \[f(x)=\int{e^x}dx=e^x\]

  dále určíme derivaci funkce g(x) pomocí Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné jako:

  \[g^{'}(x)=x^{'}{x}=1\]

  a následně dosadíme do rovnosti, známé z per partes:

  \[\int{xe^x}dx=xe^x -\int{1\cdot e^x}dx =\] \[=xe^x-e^x+c=e^x (x-1)+c\]