Sbírka řešených úloh

Limita posloupnosti - komplexní úloha X

Úloha číslo: 862

• Řešení

  Určujeme limitu posloupnosti

  $$\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{\frac{4^n + 3^n\sin(2^n)}{5^n + 4^n\cos(n!)}}\ \ .$$

  Vytknutím nejvyšší mocniny z čitatele i jmenovatele dostaneme

  $$\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{4}{5}\cdot \sqrt[n]{\frac{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^n\sin(2^n)}{1 + \left(\frac{4}{5}\right)^n\cos(n!)}}\ \ .$$

  Podle úlohy Věta o limitě součinu omezené a nulové posloupnosti platí, že

  $$\lim_{\small n\to\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^n\sin(2^n) = 0,$$

  neboť dle úlohy Limita geometrické posloupnosti je

  $$\lim \left(\frac{3}{4}\right)^n = 0$$

  a z omezenosti funkce sinus máme

  $$-1\leq \sin(2^n) \leq 1.$$

  Zcela analogicky podle úlohy Věta o limitě součinu omezené a nulové posloupnosti platí, že

  $$\lim_{\small n\to\infty} \left(\frac{4}{5}\right)^n\cos(n!) = 0,$$

  neboť dle úlohy Limita geometrické posloupnosti je

  $$\lim \left(\frac{4}{5}\right)^n = 0$$

  a z omezenosti funkce kosinus máme

  $$-1\leq \cos(n!) \leq 1.$$

  Tudíž máme, že

  $$\lim \ \frac{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^n\sin(2^n)}{1 + \left(\frac{4}{5}\right)^n\cos(n!)} = \frac{1+0}{1+0} = 1.$$

  Z definice vlastní limity posloupnosti vyplývá, že od nějakého členu počínaje platí

  $$1 - \varepsilon \leq \frac{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^n\sin(2^n)}{1 + \left(\frac{4}{5}\right)^n\cos(n!)} \leq 1+\varepsilon,$$

  kde ε lze volit libovolné kladné. Volíme-li jej menší než 1, máme, že

  $$\sqrt[n]{1 - \varepsilon} \leq \sqrt[n]{\frac{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^n\sin(2^n)}{1 + \left(\frac{4}{5}\right)^n\cos(n!)}} \leq \sqrt[n]{1+\varepsilon}.$$

  Navíc podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I, že

  $$\lim \ \sqrt[n]{1-\varepsilon} = 1, \qquad \lim \ \sqrt[n]{1+\varepsilon} = 1.$$

  Z úlohy Věta o dvou policajtech pak vyplývá, že

  $$\lim \ \sqrt[n]{\frac{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^n\sin(2^n)}{1 + \left(\frac{4}{5}\right)^n\cos(n!)}} = 1,$$

  a tedy, vrátíme-li se na úplný začátek, máme

  $$\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{\frac{4^n + 3^n\sin(2^n)}{5^n + 4^n\cos(n!)}} =$$ $$= \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{4}{5}\cdot \sqrt[n]{\frac{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^n\sin(2^n)}{1 + \left(\frac{4}{5}\right)^n\cos(n!)}} = \frac{4}{5}\cdot 1 = \frac{4}{5}.$$