Limita posloupnosti - komplexní úloha X
Úloha číslo: 862
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{\frac{4^n + 3^n\sin(2^n)}{5^n + 4^n\cos(n!)}}\ \ .\]Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{\frac{4^n + 3^n\sin(2^n)}{5^n + 4^n\cos(n!)}}\ \ .\]Vytknutím nejvyšší mocniny z čitatele i jmenovatele dostaneme
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{4}{5}\cdot \sqrt[n]{\frac{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^n\sin(2^n)}{1 + \left(\frac{4}{5}\right)^n\cos(n!)}}\ \ .\]Podle úlohy Věta o limitě součinu omezené a nulové posloupnosti platí, že
\[\lim_{\small n\to\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^n\sin(2^n) = 0,\]neboť dle úlohy Limita geometrické posloupnosti je
\[\lim \left(\frac{3}{4}\right)^n = 0\]a z omezenosti funkce sinus máme
\[-1\leq \sin(2^n) \leq 1.\]Zcela analogicky podle úlohy Věta o limitě součinu omezené a nulové posloupnosti platí, že
\[\lim_{\small n\to\infty} \left(\frac{4}{5}\right)^n\cos(n!) = 0,\]neboť dle úlohy Limita geometrické posloupnosti je
\[\lim \left(\frac{4}{5}\right)^n = 0\]a z omezenosti funkce kosinus máme
\[-1\leq \cos(n!) \leq 1.\]Tudíž máme, že
\[\lim \ \frac{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^n\sin(2^n)}{1 + \left(\frac{4}{5}\right)^n\cos(n!)} = \frac{1+0}{1+0} = 1.\]Z definice vlastní limity posloupnosti vyplývá, že od nějakého členu počínaje platí
\[1 - \varepsilon \leq \frac{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^n\sin(2^n)}{1 + \left(\frac{4}{5}\right)^n\cos(n!)} \leq 1+\varepsilon,\]kde ε lze volit libovolné kladné. Volíme-li jej menší než 1, máme, že
\[\sqrt[n]{1 - \varepsilon} \leq \sqrt[n]{\frac{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^n\sin(2^n)}{1 + \left(\frac{4}{5}\right)^n\cos(n!)}} \leq \sqrt[n]{1+\varepsilon}.\]Navíc podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I, že
\[\lim \ \sqrt[n]{1-\varepsilon} = 1, \qquad \lim \ \sqrt[n]{1+\varepsilon} = 1.\]Z úlohy Věta o dvou policajtech pak vyplývá, že
\[\lim \ \sqrt[n]{\frac{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^n\sin(2^n)}{1 + \left(\frac{4}{5}\right)^n\cos(n!)}} = 1,\]a tedy, vrátíme-li se na úplný začátek, máme
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{\frac{4^n + 3^n\sin(2^n)}{5^n + 4^n\cos(n!)}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{4}{5}\cdot \sqrt[n]{\frac{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^n\sin(2^n)}{1 + \left(\frac{4}{5}\right)^n\cos(n!)}} = \frac{4}{5}\cdot 1 = \frac{4}{5}.\]
