Sbírka řešených úloh

Goniometrické substituce 2.

Úloha číslo: 1261

• Rozbor

  Zadaná funkce je složená z funkcí goniometrických a máme-li hledat primitivní funkci k takovéto funkci, pak využijeme metody goniometrické substituce z úlohy:Goniometrické substituce - odvození

  Nejprve je důležité vhodně zvolit substituci tak, abychom si práci co nejvíce zjednodušili.

  Navíc je nutné splnit podmínku dané substituce, tedy před použitím je třeba ji ověřit.

  Substituci \(t=\mathrm{tg}\,{\left(\frac{x}{2}\right)}\), jež funguje vždy, se raději vyhněte, neboť jednak vede na složitý výpočet a pak je často třeba, takzvaně, dolepit v některých hodnotách, pro něž není výsledná primitivní funkce definována.

• Nápověda

  Pomocí definice funkce tangens, známých neurčitých integrálů Přehled základních primitivních funkcí, známých základních derivací Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné a vhodné goniometrické substituce Goniometrické substituce - odvození určete hledaný neurčitý integrál.

• Řešení

  Využijte definice funkce tangens \(\mathrm{tg}\,{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\) a integrál přepište jako:

  \[\int{\mathrm{tg}\,{x}}dx=\int\frac{\sin{x}}{\cos{x}}dx=\]

  zaveďte goniometrickou substituci a určete dx pomocí Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné:

  \[w:=\cos{x}\] \[dw=-\sin{x}dx\]

  Ověřme, zda-li můžeme danou substituci použít, tedy platí-li podmínka \(F(-\sin{x},\cos{x})=-F(\sin{x},\cos{x})\)

  \[f(-\sin{x},\cos{x})=\frac{-\sin{x}}{\cos{x}}=-\frac{\sin{x}}{\cos{x}}=-f(x)\]

  požadovaná podmínka je splněna, proveďte substituci a integrál přepište jako:

  \[=-\int\frac{1}{w}dw=\]

  pomocí Přehled základních primitivních funkcí určete hledanou primitivní funkci:

  \[-\ln{|w|}+c;\,\, c\in R\]

  nakonec upravte výraz pro proměnou x zpětnou substitucí:

  \[-\ln{|\cos{x}|}+c;\,\, c\in R\]

  Nikdy nezapomenout na konstantu!