Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita racionální funkce s odmocninou
Úloha číslo: 1177
Vypočtěte limitu:
\[
\lim_{x\to 8} \frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}\mathrm{.}
\]
Nápověda 1
Dosazením snadno ověříme, že vychází neurčitý výraz 0/0.
Výraz rozšiřte podle vzorců:
\[A^3 -B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)\] \[A^2 -B^2 = (A-B)(A+B)\mathrm{.}\]Nápověda 2
Pokuste se upravit první zlomek, aby bylo možné dvojčlen \((x-8)\) vykrátit, tedy aby již při dosazování nevycházel neurčitý výraz.Nápověda 3
Ověřte, že nyní je již možné přímo dosadit, aniž by vycházel neurčitý výraz.
Limitu dopočítejte.
CELKOVÉ ŘEŠENÍ
Výrazy vhodně rozšíříme užitím vzorců:
\[A^3 -B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)\] \[A^2 -B^2 = (A-B)(A+B)\mathrm{.}\]Rozšířením výrazem\(\frac{\sqrt{9+2x}+5}{\sqrt{9+2x}+5}\) se zbavíme odmocniny v čitateli.
Rozšířením výrazem \(\frac{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}\) se zbavíme třetí odmocniny ve jmenovateli.
\[ \lim_{x\to 8} \frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2} \cdot \frac{\sqrt{9+2x}+5}{\sqrt{9+2x}+5} \cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4} = \] \[ = \lim_{x\to 8} \frac{9+2x-25}{x-8} \cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt{9+2x}+5} \mathrm{.} \] Úpravou a vytknutím \(2\) dostaneme: \[ \lim_{x\to 8} \frac{9+2x-25}{x-8} \cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt{9+2x}+5} = \lim_{x\to 8} \frac{2(x-8)}{x-8} \cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt{9+2x}+5} \mathrm{.} \] Pokrácením dvojčlenu \((x-8)\) a dosazením \(x=8\) dostaneme: \[ \lim_{x\to 8}\left( \frac{2(x-8)}{x-8} \cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt{9+2x}+5}\right) = \lim_{x\to 8} \left( 2 \cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt{9+2x}+5} \right)=\] \[= 2\cdot \frac{4+4+4}{5+5} = \frac{12}{5}. \]Výsledek
\[ \lim_{x\to 8} \frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2} = \frac{12}{5}\mathrm{.} \]
