Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita racionální posloupnosti s parametrem III
Úloha číslo: 821
Určete následující limitu v závislosti na hodnotě reálného parametru α
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(n+3)^{100}-(n^2+4)^{50}}{n^\alpha}.\]Nápověda
Pomocí binomické věty určete člen s nejvyšší mocninou v čitateli.
Poté rozhodněte případy, kdy α je větší, menší nebo rovno této mocnině.
Řešení
Určujeme limitu v závislosti na hodnotě reálného parametru α
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(n+3)^{100}-(n^2+4)^{50}}{n^\alpha}.\]Pomocí binomické věty můžeme pro čitatel psát
\[(n+3)^{100} - (n^2+4)^{50} = \] \[ = n^{100} + 300n^{99n} + V(n) - n^{100} - W(n) = \] \[ = 300n^{99} + V(n) - W(n),\]kde V(n) a W(n) jsou polynomy stupně menšího než 99.
Limitu tedy můžeme přepsat na tvar
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{300n^{99} + V(n)-W(n)}{n^\alpha} = \] \[= \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^{99}}{n^\alpha}\cdot \frac{300 + \frac{V(n)-W(n)}{99}}{1} = \]a za pomocí věty o aritmetice limit máme
\[= \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^{99}}{n^\alpha}\cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{300 + \frac{V(n)-W(n)}{99}}{1} = \] \[= \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^{99}}{n^\alpha}\cdot \frac{300 + 0}{1} = \] \[ = 300\cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^{99}}{n^\alpha}.\]Náš postup je korektní, pokud ukážeme, že poslední výraz má smysl pro každé reálné α.
Pokud je nyní α < 99, pak
\[300\cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^{99}}{n^\alpha} = \] \[300\cdot \lim_{\small n\to\infty} n^{99-\alpha} = 300\cdot (+\infty) = +\infty,\]podle části (b) úlohy Základní limity posloupností II ve smyslu poznámky k jejímu zadání.
Pokud je nyní α = 99, pak
\[300\cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^{99}}{n^\alpha} = \] \[300\cdot \lim_{\small n\to\infty} 1 = 300{\cdot} 1 = 300.\]Pokud je konečně α > 99, pak
\[300\cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^{99}}{n^\alpha} = \] \[300\cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{1}{n^{\alpha-99}} = 300{\cdot} 0 = 0,\]podle části (a) úlohy Základní limity posloupností II.
