Sbírka řešených úloh

Limita s odmocninou v nevlastním bodě

Úloha číslo: 1181

• Nápověda 1

  Přímé použití věty o aritmetice limit nepovede k cíli, dostali bychom výraz typu \((\infty - \infty)\), který nemá smysl. Rozšiřte vhodným výrazem podle vzorce: \[(A^2 - B^2)=(A-B)(A+B)\mathrm{.}\]

• Řešení nápovědy 1

  Rozšíříme výrazem \(\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}\) a upravíme dle vzorce pro \((A^2 - B^2)\): \[ \lim\limits_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right) = \] \[ = \lim\limits_{x\to+\infty} \left[\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)\cdot \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}} \right] = \] \[ = \lim_{x\to\infty} \frac{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}-x}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}} \mathrm{.} \]

• Nápověda 2

  Nyní řešíme limitu racionální funkce. Podobně jako v příkladu Limita racionální funkce v nevlastním bodě I., kde jsme počítali podíl polynomů, budeme i zde vytýkat nejvyšší mocninu \(x\), s tím rozdílem, že nebude celočíselná.

  Jaká je v čitateli a jmenovateli nejvyšší mocnina \(x\)? Vytkněte ji.

• Řešení nápovědy 2

  Nejvyšší mocninou v čitateli i jmenovateli je \(\sqrt{x}\). Jejím vytknutím dostaneme:

  \[ \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}} = \lim_{x\to\infty}\left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}}}}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^3}}}}+1}\right) \mathrm{.}\]

• Nápověda 3

  Vytknutou \(\sqrt{x}\) pokraťe. Dále si připomeňte, že \(\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=0\) a posléze díky větě o aritmetice limit můžeme také psát: \(\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^2}=0\), \(\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^3}=0\) atd.

  Použitím uvedených limit příklad dopočtěte.

• Řešení nápovědy 3

  Pokrácením \(\sqrt{x}\) a díky znalosti limity \(\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=0\) a věty o aritmetice limit dostáváme: \[ \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}}}}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^3}}}}+1} = \frac{1}{2}\mathrm{.} \]

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Přímé použití věty o aritmetice limit nepovede k cíli, dostali bychom výraz typu \((\infty - \infty)\), který nemá smysl.

  Rozšíříme výrazem \(\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}\) a upravíme dle vzorce pro \((A^2 - B^2)\):

  \[ \lim\limits_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right) = \] \[ = \lim\limits_{x\to+\infty} \left[\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)\cdot \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}} \right] = \] \[ = \lim_{x\to\infty} \frac{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}-x}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}} \mathrm{.} \]

  V čitateli i jmenovateli vytkneme nejvyšší mocninu, tj. \(\sqrt{x}\).

  \[ \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}} = \lim_{x\to\infty}\left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}}}}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^3}}}}+1}\right) \mathrm{.}\] Pokrácením \(\sqrt{x}\) a díky znalosti limity \(\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=0\) a věty o aritmetice limit dostáváme: \[ \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}}}}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^3}}}}+1} = \frac{1}{2}\mathrm{.} \]

• Výsledek

  \[ \lim\limits_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right) = \frac{1}{2} \mathrm{.} \]