Integrace lomené racionální funkce V.
Úloha číslo: 1490
Určete
\[I=\int\frac{1}{1-x^2}dx\]Motivace
Před sebou máme typického zástupce z řad integrálů lomených racionálních funkcí. Jak k těmto integrálůmm přistupovat? Existuje nějaký osvědčený početní postup?
Odpověď je na snadě a osvědčený početní postup naservírovaný přímo na pomysleném zlatém podnosu.
Postup
Integrujeme-li výraz \(\frac{P_s(x)}{Q_r(x)}\), kde \(P_s(x), Q_r(x)\) jsou polynomi stupně \(s,r\) nad reálnými čísly, osvědčil se následující postup
Pro stupně polynomů musí platit \(r>s\)(přijatelná je i rovnost mezi stupni), pokud toto neplatí, pak výraz za pomoci dělení polynomů nebo jiného postupu převádíme do požadovaného tvaru.
Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly
Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly I.
Dělení polynomu polynomem pomocí chytré nuly II.
Výsledek dost často bývá ve tvaru polynom plus zbytek po dělení polynomi (lomená racionální funkce splňující výše uvedenou podmínku pro stupně jednotlivých polynomů v čitateli a jmenovateli).
- Případným dělením vzniklý nebo, případně, původní výraz rozkládáme na parciální zlomky.
Rozklad na parciální zlomky I.
Rozklad na parciální zlomky II.
Rozklad na parciální zlomky III.
Rozklad na parciální zlomky IV.
Pozor na ireducibilní polynomy! Pokud je nepoznáme na první pohled, pomůžeme si diskriminantem.
- Dílčí, rozkladem na parciální zlomky vzniklé, lomené racionální funkce v souladu s pravidly pro integrování integrujeme.
Integrace lomené racionální funkce I.
Integrace lomené racionální funkce II.
Integrace lomené racionální funkce III.
Integrace lomené racionální funkce IV.
Zde často užívámme vhodné substituce, příležitostně i metody integrace Per Partes.
Dělení polynomů
V souladu s motivačním textem úlohy upravte výraz do požadovaného tvaru.
Rozklad na parciální zlomky
Lomený výraz rozložíme na parciální zlomky (viz motivace úlohy).
Integrace
Za pomoci získaného rozkladu na parciální zlomky řešený integrál rozepište na soušet jednodušších integrálů. Následným vhodným užitím substituční metody dílčí integrály řešte.
Řešení
Jelikož je stupeň polynomu ve jmenovateli zlomku 2 a stupeň polynomu v čitateli 0, je zjevně požadovaná podmínka pro stupně splněna, neboť platí
\[2>0\]Krok s dělením tedy pro tento případ přeskakujeme.
Nejprve tedy rozložíme na lineární faktory výraz ve jmenovateli zlomku.
V tomto konkrétním případě využijeme vzorec \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\).
Polynom ve jmenovateli tedy můžeme rozložit jako
\[1-x^2=(1-x)(1+x)\]a celý výraz přepsat jako
\[\frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{(1-x)(1+x)}\]Dále s využitím návodu, obsaženém v motivačním textu úlohy, provedeme rozklad výrazu na parciální zlomky s obecnými koeficienty
\[\frac{1}{(1-x)(1+x)}=\frac{A}{1+x}+\frac{B}{1-x}\]Získaný rozklad nejprve lehce upravíme a obě strany rovnosti vynásobíme výrazem \((1-x)(1+x)\)
\[\frac{1}{(1-x)(1+x)}=\frac{A}{1+x}+\frac{B}{1-x}\]získáme tak
\[1=A(1-x)+B(1+x)\]závorky roznásobíme
\[1=A-Ax+B+Bx\]a rovnici připravíme pro metodu porovnávání koeficientů
\[1=(B-A)x+(A+B)\] \[\color{red}{0}x+\color{blue}{1}x^0=\color{red}{(B-A)}x+\color{blue}{(A+B)}x^0\]Jak můžeme pozorovat, aby rovnost platila, musí platit následující dvě podmínky
\[0=B-A\] \[1=A+B\]Je zřejmé, že soustavu řeší \(A=B=\frac{1}{2}\)
Výsledný rozklad výrazu na parciální zlomky tedy bude vypadat následovně
\[\frac{1}{(1-x)(1+x)}=\frac{1}{2}\frac{1}{1+x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-x}\]Kompletní postup s nápovědami obsahuje úloha Rozklad na parciální zlomky I.
za užití získaného rozkladu na parciální zlomky a linearity integrálu
\[\int\frac{1}{1-x^2}dx=\int\frac{1}{2}\frac{1}{1+x}dx+\int\frac{1}{2}\frac{1}{1-x}dx=\]po vytknutí příslušných konstant
\[=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+x}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{1-x}dx=\]Oba integrované výrazy připomínají výraz \(\frac{1}{w}\), proto v případě prvního výrazu substituujeme \(y=1+x\) a v případě druhého pak \(z=1-x\).
Jelikož jsou \(y,z\) funkce proměnné \(x\) budou jim příslušné derivace dle proměnné \(x\) vypadat následovně
\[dy=dx\] \[dz=-dx \implies dx=-dz\]Získané údaje dosadíme do příslušných integrálů, čímž získáme
\[=\frac{1}{2}\int\frac{1}{y}dy-\frac{1}{2}\int\frac{1}{z}dz=\]následnou integrací pak
\[=\frac{1}{2}\ln{|y|}-\frac{1}{2}\ln{|z|}+c=\]po zpětné substituci pak
\[=\frac{1}{2}\ln{|1+x|}-\frac{1}{2}\ln{|1-x|}+c\]po drobné kosmetické úpravě nakonec
\[I=\ln{\sqrt{\frac{|1+x|}{|1-x|}}}+c\]Výsledek
\[I=\ln{\sqrt{\frac{|1+x|}{|1-x|}}}+c\]Další úloha v sérii
