Sbírka řešených úloh

Rozklad na parciální zlomky III.

Úloha číslo: 1482

• Motivace

  V úlohách Rozklad na parciální zlomky I. a Rozklad na parciální zlomky II. jsme si již ukázali, jak rozkládat na parciální zlomky lomené racionální výrazy, kde polynom ve jmenovateli je rozložitelný na lineární faktory.

  V této úloze si předvedeme, jak si poradit s nerozložitelnými polynomi.

  Například výraz $\frac{1}{1+x^2}$ nad reálnými čísly dále nerozložíme, neboť polynom ve jmenovateli výrazu nemá reálné kořeny(kvadratické výrazy s disktiminantem menším než nula).

  Konkrétně, jestliže je vstupem lomený racionální výraz $$\frac{P_s(x)}{Q_n(x)}$$ nad $\mathbb{R}$, kde pro stupně polynomů platí $s \le n$, $n$ sudé a kde polynom ${Q_n(x)}$ lze nad $\mathbb{R}$ rozložit na součin ireducibilních polynomů stupně dva jako $${Q_n(x)}=R_1(x)R_2(x)\cdots R_{\frac{n}{2}}(x)$$

  Pak výstupem bude rozklad

  $$\frac{P_s(x)}{Q_n(x)}=\frac{A_{1}(x)}{R_1(x)}+\frac{A_{2}(x)}{R_2(x)}+\cdots+\frac{A_{\frac{n}{2}}(x)}{R_{\frac{n}{2}}(x)}$$

  kde $A_{i}(x)$ rozumíme polynom stupně jedna nad $\mathbb{R}$ příslušející polynomu $R_{i}(x)$, kde $i \le \frac{n}{2}$.

• Nápověda 1.

  Polynom ve jmenovateli rozložte na součinový tvar.

• Nápověda 1. - řešení

  V tomto případě využijeme substituce $w=x^2$

  Polynom ve jmenovateli tedy můžeme přepsat jako

  $$x^4+3x^2+2=w^2+3w+2$$

  a podle pravidla součtu a součinu (Vietovy vzorce) následně rozložit jako

  $$w^2+3w+2=(w+1)(w+2)$$

  čímž po zpětném dosazení získáváme

  $$=(x^2+1)(x^2+2)$$

  oba, takto získané polynomi, jsou zjevně nad reálnými čísly nerozložitelné ( $D_{1{,}2} < 0$)

• Nápověda 2.

  Proveďte obecný rozklad na parciální zlomky v souladu s motivačním textem úlohy.

• Nápověda 2. - řešení

  S využitím dříve provedeného rozkladu výrazu ve jmenovateli zlomku vyjádříme obecný rozklad na parciální zlomky zadaného výrazu jako

  $$\frac{1}{x^4+3x^2+2}=\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}$$ $$\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2}$$

• Nápověda 3.

  Za pomoci metody porovnávání koeficientů určete konstanty $A,\,B,\,C,\,D$ tak, aby platila rovnost výše.

• Nápověda 3. - řešení

  Dříve získaný rozklad nejprve upravíme tak, že obě strany rovnosti vynásobíme výrazem $(x^2+1)(x^2+2)$

  $$\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2}$$

  získáme tak

  $$1=(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)$$

  závorky roznásobíme

  $$1=Ax^3+2Ax+Bx^2+2B+Cx^3+Cx+Dx^2+D$$

  a rovnici připravíme pro metodu porovnávání koeficientů

  (dva polynomy se sobě rovnají, rovnají-li se sobě navzájem si korespondující koeficienty)

  $$1=x^3(A+C)+x^2(B+D)+x(2A+C)+(2B+D)$$ $$\color{red}{0}x^3 + \color{blue}{0}x^2+\color{green}{0}x+\color{yellow}{1}x^0=\color{red}{(A+C)}x^3+\color{blue}{(B+D)}x^2+\color{green}{(2A+C)}x+\color{yellow}{(2B+D)}x^0$$

  Jak můžeme pozorovat, aby rovnost platila, musí platit následující čtyři podmínky

  $$0=A+C$$ $$0=B+D$$ $$0=2A+C$$ $$1=2B+D$$

  Vzhledem k tomu, že se jedná o soustavu čtyř lineárních rovnic o čtyřech neznámých, můžeme řešení nalézt pomocí substituční nebo eliminační metody řešení soustav.

  Touto cestou získáme následující řešení

  $$A=C=0$$ $$B=1$$ $$D=-1$$

  a s tím spojený rozklad

  $$\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{1}{x^2+1}+\frac{-1}{x^2+2}$$

• Řešení

  V tomto případě využijeme substituce $w=x^2$

  Polynom ve jmenovateli tedy můžeme přepsat jako

  $$x^4+3x^2+2=w^2+3w+2$$

  a podle pravidla součtu a součinu (Vietovy vzorce) následně rozložit jako

  $$w^2+3w+2=(w+1)(w+2)$$

  čímž po zpětném dosazení získáváme

  $$=(x^2+1)(x^2+2)$$

  oba, takto získané polynomi, jsou zjevně nad reálnými čísly nerozložitelné ( $D_{1{,}2} < 0$)

  Za pomoci dříve provedeného rozkladu výrazu ve jmenovateli zlomku vyjádříme obecný rozklad na parciální zlomky zadaného výrazu jako

  $$\frac{1}{x^4+3x^2+2}=\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}$$ $$\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2}$$

  Takto získaný rozklad nejprve upravíme tak, že obě strany rovnosti vynásobíme výrazem $(x^2+1)(x^2+2)$

  $$\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2}$$

  získáme tak

  $$1=(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)$$

  závorky roznásobíme

  $$1=Ax^3+2Ax+Bx^2+2B+Cx^3+Cx+Dx^2+D$$

  a rovnici připravíme pro metodu porovnávání koeficientů

  (dva polynomy se sobě rovnají, rovnají-li se sobě navzájem si korespondující koeficienty)

  $$1=x^3(A+C)+x^2(B+D)+x(2A+C)+(2B+D)$$ $$\color{red}{0}x^3 + \color{blue}{0}x^2+\color{green}{0}x+\color{yellow}{1}x^0=\color{red}{(A+C)}x^3+\color{blue}{(B+D)}x^2+\color{green}{(2A+C)}x+\color{yellow}{(2B+D)}x^0$$

  Jak můžeme pozorovat, aby rovnost platila, musí platit následující čtyři podmínky

  $$0=A+C$$ $$0=B+D$$ $$0=2A+C$$ $$1=2B+D$$

  Vzhledem k tomu, že se jedná o soustavu čtyř lineárních rovnic o čtyřech neznámých, můžeme řešení nalézt pomocí substituční nebo eliminační metody řešení soustav.

  Touto cestou získáme následující řešení

  $$A=C=0$$ $$B=1$$ $$D=-1$$

  a s tím spojený rozklad

  $$\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{1}{x^2+1}+\frac{-1}{x^2+2}$$

• Výsledek

  $$\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+2}$$

• Další úloha v sérii

  Rozklad na parciální zlomky IV.