Rozklad na parciální zlomky III.
Úloha číslo: 1482
Proveďte rozklad na parciální zlomky výrazu:
\[\frac{1}{x^4+3x^2+2}\]Motivace
V úlohách Rozklad na parciální zlomky I. a Rozklad na parciální zlomky II. jsme si již ukázali, jak rozkládat na parciální zlomky lomené racionální výrazy, kde polynom ve jmenovateli je rozložitelný na lineární faktory.
V této úloze si předvedeme, jak si poradit s nerozložitelnými polynomi.
Například výraz \(\frac{1}{1+x^2}\) nad reálnými čísly dále nerozložíme, neboť polynom ve jmenovateli výrazu nemá reálné kořeny(kvadratické výrazy s disktiminantem menším než nula).
Konkrétně, jestliže je vstupem lomený racionální výraz \[\frac{P_s(x)}{Q_n(x)}\] nad \(\mathbb{R}\), kde pro stupně polynomů platí \(s \le n\), \(n\) sudé a kde polynom \({Q_n(x)}\) lze nad \(\mathbb{R}\) rozložit na součin ireducibilních polynomů stupně dva jako \[{Q_n(x)}=R_1(x)R_2(x)\cdots R_{\frac{n}{2}}(x)\]
Pak výstupem bude rozklad
\[\frac{P_s(x)}{Q_n(x)}=\frac{A_{1}(x)}{R_1(x)}+\frac{A_{2}(x)}{R_2(x)}+\cdots+\frac{A_{\frac{n}{2}}(x)}{R_{\frac{n}{2}}(x)} \]kde \(A_{i}(x)\) rozumíme polynom stupně jedna nad \(\mathbb{R}\) příslušející polynomu \(R_{i}(x)\), kde \(i \le \frac{n}{2}\).
Nápověda 1.
Polynom ve jmenovateli rozložte na součinový tvar.
Nápověda 2.
Proveďte obecný rozklad na parciální zlomky v souladu s motivačním textem úlohy.
Nápověda 3.
Za pomoci metody porovnávání koeficientů určete konstanty \(A,\,B,\,C,\,D \) tak, aby platila rovnost výše.
Řešení
V tomto případě využijeme substituce \(w=x^2\)
Polynom ve jmenovateli tedy můžeme přepsat jako
\[x^4+3x^2+2=w^2+3w+2\]a podle pravidla součtu a součinu (Vietovy vzorce) následně rozložit jako
\[w^2+3w+2=(w+1)(w+2)\]čímž po zpětném dosazení získáváme
\[=(x^2+1)(x^2+2)\]oba, takto získané polynomi, jsou zjevně nad reálnými čísly nerozložitelné ( \(D_{1{,}2} < 0 \))
Za pomoci dříve provedeného rozkladu výrazu ve jmenovateli zlomku vyjádříme obecný rozklad na parciální zlomky zadaného výrazu jako
\[\frac{1}{x^4+3x^2+2}=\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}\] \[\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2}\]Takto získaný rozklad nejprve upravíme tak, že obě strany rovnosti vynásobíme výrazem \((x^2+1)(x^2+2)\)
\[\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2}\]získáme tak
\[1=(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)\]závorky roznásobíme
\[1=Ax^3+2Ax+Bx^2+2B+Cx^3+Cx+Dx^2+D\]a rovnici připravíme pro metodu porovnávání koeficientů
(dva polynomy se sobě rovnají, rovnají-li se sobě navzájem si korespondující koeficienty)
\[1=x^3(A+C)+x^2(B+D)+x(2A+C)+(2B+D)\] \[\color{red}{0}x^3 + \color{blue}{0}x^2+\color{green}{0}x+\color{yellow}{1}x^0=\color{red}{(A+C)}x^3+\color{blue}{(B+D)}x^2+\color{green}{(2A+C)}x+\color{yellow}{(2B+D)}x^0\]Jak můžeme pozorovat, aby rovnost platila, musí platit následující čtyři podmínky
\[0=A+C\] \[0=B+D\] \[0=2A+C\] \[1=2B+D\]Vzhledem k tomu, že se jedná o soustavu čtyř lineárních rovnic o čtyřech neznámých, můžeme řešení nalézt pomocí substituční nebo eliminační metody řešení soustav.
Touto cestou získáme následující řešení
\[A=C=0\] \[B=1\] \[D=-1\]a s tím spojený rozklad
\[\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{1}{x^2+1}+\frac{-1}{x^2+2}\]Výsledek
\[\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+2}\]Další úloha v sérii
