Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Rozklad na parciální zlomky III.
Úloha číslo: 1482
Proveďte rozklad na parciální zlomky výrazu:
1x4+3x2+2Motivace
V úlohách Rozklad na parciální zlomky I. a Rozklad na parciální zlomky II. jsme si již ukázali, jak rozkládat na parciální zlomky lomené racionální výrazy, kde polynom ve jmenovateli je rozložitelný na lineární faktory.
V této úloze si předvedeme, jak si poradit s nerozložitelnými polynomi.
Například výraz 11+x2 nad reálnými čísly dále nerozložíme, neboť polynom ve jmenovateli výrazu nemá reálné kořeny(kvadratické výrazy s disktiminantem menším než nula).
Konkrétně, jestliže je vstupem lomený racionální výraz Ps(x)Qn(x) nad R, kde pro stupně polynomů platí s≤n, n sudé a kde polynom Qn(x) lze nad R rozložit na součin ireducibilních polynomů stupně dva jako Qn(x)=R1(x)R2(x)⋯Rn2(x)
Pak výstupem bude rozklad
Ps(x)Qn(x)=A1(x)R1(x)+A2(x)R2(x)+⋯+An2(x)Rn2(x)kde Ai(x) rozumíme polynom stupně jedna nad R příslušející polynomu Ri(x), kde i≤n2.
Nápověda 1.
Polynom ve jmenovateli rozložte na součinový tvar.
Nápověda 2.
Proveďte obecný rozklad na parciální zlomky v souladu s motivačním textem úlohy.
Nápověda 3.
Za pomoci metody porovnávání koeficientů určete konstanty A,B,C,D tak, aby platila rovnost výše.
Řešení
V tomto případě využijeme substituce w=x2
Polynom ve jmenovateli tedy můžeme přepsat jako
x4+3x2+2=w2+3w+2a podle pravidla součtu a součinu (Vietovy vzorce) následně rozložit jako
w2+3w+2=(w+1)(w+2)čímž po zpětném dosazení získáváme
=(x2+1)(x2+2)oba, takto získané polynomi, jsou zjevně nad reálnými čísly nerozložitelné ( D1,2<0)
Za pomoci dříve provedeného rozkladu výrazu ve jmenovateli zlomku vyjádříme obecný rozklad na parciální zlomky zadaného výrazu jako
1x4+3x2+2=1(x2+1)(x2+2) 1(x2+1)(x2+2)=Ax+Bx2+1+Cx+Dx2+2Takto získaný rozklad nejprve upravíme tak, že obě strany rovnosti vynásobíme výrazem (x2+1)(x2+2)
1(x2+1)(x2+2)=Ax+Bx2+1+Cx+Dx2+2získáme tak
1=(Ax+B)(x2+2)+(Cx+D)(x2+1)závorky roznásobíme
1=Ax3+2Ax+Bx2+2B+Cx3+Cx+Dx2+Da rovnici připravíme pro metodu porovnávání koeficientů
(dva polynomy se sobě rovnají, rovnají-li se sobě navzájem si korespondující koeficienty)
1=x3(A+C)+x2(B+D)+x(2A+C)+(2B+D) 0x3+0x2+0x+1x0=(A+C)x3+(B+D)x2+(2A+C)x+(2B+D)x0Jak můžeme pozorovat, aby rovnost platila, musí platit následující čtyři podmínky
0=A+C 0=B+D 0=2A+C 1=2B+DVzhledem k tomu, že se jedná o soustavu čtyř lineárních rovnic o čtyřech neznámých, můžeme řešení nalézt pomocí substituční nebo eliminační metody řešení soustav.
Touto cestou získáme následující řešení
A=C=0 B=1 D=−1a s tím spojený rozklad
1(x2+1)(x2+2)=1x2+1+−1x2+2Výsledek
1(x2+1)(x2+2)=1x2+1−1x2+2Další úloha v sérii