Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Rozklad na parciální zlomky III.

Úloha číslo: 1482

Proveďte rozklad na parciální zlomky výrazu:

\[\frac{1}{x^4+3x^2+2}\]
  • Motivace

    V úlohách Rozklad na parciální zlomky I.Rozklad na parciální zlomky II. jsme si již ukázali, jak rozkládat na parciální zlomky lomené racionální výrazy, kde polynom ve jmenovateli je rozložitelný na lineární faktory.

    V této úloze si předvedeme, jak si poradit s nerozložitelnými polynomi.

    Například výraz \(\frac{1}{1+x^2}\) nad reálnými čísly dále nerozložíme, neboť polynom ve jmenovateli výrazu nemá reálné kořeny(kvadratické výrazy s disktiminantem menším než nula).

    Konkrétně, jestliže je vstupem lomený racionální výraz \[\frac{P_s(x)}{Q_n(x)}\] nad \(\mathbb{R}\), kde pro stupně polynomů platí \(s \le n\), \(n\) sudé a kde polynom \({Q_n(x)}\) lze nad \(\mathbb{R}\) rozložit na součin ireducibilních polynomů stupně dva jako \[{Q_n(x)}=R_1(x)R_2(x)\cdots R_{\frac{n}{2}}(x)\]

    Pak výstupem bude rozklad

    \[\frac{P_s(x)}{Q_n(x)}=\frac{A_{1}(x)}{R_1(x)}+\frac{A_{2}(x)}{R_2(x)}+\cdots+\frac{A_{\frac{n}{2}}(x)}{R_{\frac{n}{2}}(x)} \]

    kde \(A_{i}(x)\) rozumíme polynom stupně jedna nad \(\mathbb{R}\) příslušející polynomu \(R_{i}(x)\), kde \(i \le \frac{n}{2}\).

  • Nápověda 1.

    Polynom ve jmenovateli rozložte na součinový tvar.

  • Nápověda 2.

    Proveďte obecný rozklad na parciální zlomky v souladu s motivačním textem úlohy.

  • Nápověda 3.

    Za pomoci metody porovnávání koeficientů určete konstanty \(A,\,B,\,C,\,D \) tak, aby platila rovnost výše.

  • Řešení

    V tomto případě využijeme substituce \(w=x^2\)

    Polynom ve jmenovateli tedy můžeme přepsat jako

    \[x^4+3x^2+2=w^2+3w+2\]

    a podle pravidla součtu a součinu (Vietovy vzorce) následně rozložit jako

    \[w^2+3w+2=(w+1)(w+2)\]

    čímž po zpětném dosazení získáváme

    \[=(x^2+1)(x^2+2)\]

    oba, takto získané polynomi, jsou zjevně nad reálnými čísly nerozložitelné ( \(D_{1{,}2} < 0 \))

    Za pomoci dříve provedeného rozkladu výrazu ve jmenovateli zlomku vyjádříme obecný rozklad na parciální zlomky zadaného výrazu jako

    \[\frac{1}{x^4+3x^2+2}=\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}\] \[\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2}\]

    Takto získaný rozklad nejprve upravíme tak, že obě strany rovnosti vynásobíme výrazem \((x^2+1)(x^2+2)\)

    \[\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2}\]

    získáme tak

    \[1=(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)\]

    závorky roznásobíme

    \[1=Ax^3+2Ax+Bx^2+2B+Cx^3+Cx+Dx^2+D\]

    a rovnici připravíme pro metodu porovnávání koeficientů

    (dva polynomy se sobě rovnají, rovnají-li se sobě navzájem si korespondující koeficienty)

    \[1=x^3(A+C)+x^2(B+D)+x(2A+C)+(2B+D)\] \[\color{red}{0}x^3 + \color{blue}{0}x^2+\color{green}{0}x+\color{yellow}{1}x^0=\color{red}{(A+C)}x^3+\color{blue}{(B+D)}x^2+\color{green}{(2A+C)}x+\color{yellow}{(2B+D)}x^0\]

    Jak můžeme pozorovat, aby rovnost platila, musí platit následující čtyři podmínky

    \[0=A+C\] \[0=B+D\] \[0=2A+C\] \[1=2B+D\]

    Vzhledem k tomu, že se jedná o soustavu čtyř lineárních rovnic o čtyřech neznámých, můžeme řešení nalézt pomocí substituční nebo eliminační metody řešení soustav.

    Touto cestou získáme následující řešení

    \[A=C=0\] \[B=1\] \[D=-1\]

    a s tím spojený rozklad

    \[\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{1}{x^2+1}+\frac{-1}{x^2+2}\]
  • Výsledek

    \[\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+2}\]
  • Další úloha v sérii

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze