n-násobná integrace
Úloha číslo: 1859
Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice \(y'''= \cos x\). Dále určete partikulární řešení vyhovující počátečním podmínkám \(y(0)=y'(0)=y''(0)=0\).
n-násobná integrace
Rovnice typu \(y^{(n)}=f(x)\) řešíme \(n\)-násobnou integrací. Pro hledanou funkci \(y(x)\) tak platí \[y=\underbrace{ \int \biggl( \int \biggl( \cdots \biggl( \int}_{n\text{-krát}}f(x)\underbrace{\mathrm{d} x \biggr) \mathrm{d}x \biggr) \cdots \biggr)\mathrm{d}x}_{n\text{-krát}} \,.\]
Mlčky přitom předpokládáme spojitost pravé strany.
S rovnicí tohoto typu jsme se již setkali v úloze Přímá integrace II. (Volný pád). Naším úkolem tehdy bylo od rovnice popisující zrychlení hmotného bodu při volném pádu dojít k funkcím popisujícím jeho rychlost a polohu. Úlohu jsme vyřešili dvojím nasazením přímé integrace. V případě funkce popisující polohu hmotného bodu jsme tak nevědomky využili právě dvojnásobnou integraci.
obecné řešení
Na první pohled máme co dočiní s rovnicí typu \(y^{(n)}=f(x)\), obecného řešení se tedy dobereme pomocí \(n\)-násobné integrace.
partikulární řešení
Pomocí získaného partikulárního řešení a počátečních podmínek určete požadované partikulární řešení.
Řešení
Na pravé straně řešené rovnice se nachází spojitá funkce. Užitím trojnásobné integrace tak postupně získáváme kýžené obecné řešení
\[\begin{align*} y'' &= \int \cos x \,\mathrm{d} x \\ y'' &= \sin x + C_1\\ y' &= \int( \sin x + C_1 )\,\mathrm{d} x \\ y' &= -\cos x + C_1x +C_2\\ y &= \int(-\cos x + C_1x +C_2 )\,\mathrm{d} x\\ y &= -\sin x + C_1\frac{x^2}{2} +C_2x+C_3 \,. \end{align*}\]Z počáteční podmínky \(y''(0) = 0\) nejprve určíme konstantu \(C_1\)
\[0= \sin 0 + C_1 \Rightarrow C_1 = 0\,.\]Dále z podmínky \(y'(0) = 0\) určíme konstantu \(C_2\)
\[0= -\cos 0 +C_2\Rightarrow C_2=1\,.\]Konečně z podmínky \( y(0) = 0\) určíme konstantu \(C_3\)
\[y(0)=0= -\sin 0 +1{\cdot} 0 +C_3 \Rightarrow C_3 = 0\,.\]Pro hledané partikulární řešení tak celkově obdržíme vztah
\[y= -\sin x + x \,.\]Povšimněme si, že stupeň volitelnosti rovnice odpovídá jejímu řádu \(n\).
