Limita posloupnosti s odmocninou - metoda usměrnění VII
Úloha číslo: 838
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \sum_{i=0}^k a_i\sqrt{n+i},\]pokud je k pevně zvolené přirozené číslo a a1, …, ak reálná čísla splňující
\[\sum_{i=0}^k a_i = 0.\]Návod: Výsledek odhadněte výpočtem pro k = 1, 2, 3. Pro k = 3 si uvědomte, že výraz v limitě lze psát ve tvaru
\[a_1\sqrt{n+1} + a_2\sqrt{n+2} + (-a_1-a_2)\sqrt{n+3} =\] \[a_1\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n+3}\right) + a_2\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+3}\right).\]Pro důkaz, že váš odhad je správný pro obecné k, použijte matematickou indukci podle parametru k nebo způsob výpočtu analogický výše uvedenému pro k = 3.
Řešení
Limita je nulová, což dokážeme indukcí. Jestliže k = 1, pak je to jednoduché, neboť z podmínky
\[\sum a_i = a_0+a_1 = 0\]plyne, že
\[a_0 = -a_1,\]a tedy
\[\lim_{n\to+\infty} a_0\sqrt{n} + a_1\sqrt{n+1} = \lim_{n\to+\infty} a_0\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right) = \] \[ = \lim_{n\to+\infty} a_0\left(\frac{-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\right) = 0.\]Indukční předpoklad tedy je, že tvrzení platí pro přirozená čísla 1, ..., k – 1 a dokazujeme jej pro číslo k. Potom položme
\[B = -a_0-a_1-\ldots-a_{k-2}.\]Platí, že
\[\lim_{n\to+\infty} \sum_{i=0}^k a_i\sqrt{n+i} =\] \[ = \lim_{n\to+\infty} \left(\sum_{i=0}^{k-2} a_i\sqrt{n+i} + B\sqrt{n+k-1}\right) + \] \[ + \left((a_{k-1}-B)\sqrt{n+k-1} + a_k\sqrt{n+k}\right) =\]nyní první limita je rovna nule aplikací indukčního předpokladu, protože
\[ B + \sum_{i=0}^{k-2} a_i = 0\]a těchto členů je celkem k – 1. Odtud také plyne, že
\[a_k + a_{k-1}-B = 0,\]a tedy
\[a_{k-1}-B = -a_k.\]Výpočet tedy pokračuje
\[ = 0+ \lim_{n\to+\infty} \left(-a_k\sqrt{n+k-1} + a_k\sqrt{n+k}\right) =\] \[ = \lim_{n\to+\infty} a_k\left(\frac{-1}{\sqrt{n+k-1} + \sqrt{n+k}}\right) = 0.\]Tvrzení je indukcí dokázáno.
