Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Obecné
«
«
«
Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Limita posloupnosti s odmocninou - metoda usměrnění VII

Úloha číslo: 838

Určete limitu posloupnosti

limnki=0ain+i,

pokud je k pevně zvolené přirozené číslo a a1, …, ak reálná čísla splňující

ki=0ai=0.

Návod: Výsledek odhadněte výpočtem pro k = 1, 2, 3. Pro k = 3 si uvědomte, že výraz v limitě lze psát ve tvaru

a1n+1+a2n+2+(a1a2)n+3= a1(n+1n+3)+a2(n+2n+3).

Pro důkaz, že váš odhad je správný pro obecné k, použijte matematickou indukci podle parametru k nebo způsob výpočtu analogický výše uvedenému pro k = 3.

  • Řešení

    Limita je nulová, což dokážeme indukcí. Jestliže k = 1, pak je to jednoduché, neboť z podmínky

    ai=a0+a1=0

    plyne, že

    a0=a1,

    a tedy

    limn+a0n+a1n+1=limn+a0(nn+1)= =limn+a0(1n+n+1)=0.

    Indukční předpoklad tedy je, že tvrzení platí pro přirozená čísla 1, ..., k – 1 a dokazujeme jej pro číslo k. Potom položme

    B=a0a1ak2.

    Platí, že

    limn+ki=0ain+i= =limn+(k2i=0ain+i+Bn+k1)+ +((ak1B)n+k1+akn+k)=

    nyní první limita je rovna nule aplikací indukčního předpokladu, protože

    B+k2i=0ai=0

    a těchto členů je celkem k – 1. Odtud také plyne, že

    ak+ak1B=0,

    a tedy

    ak1B=ak.

    Výpočet tedy pokračuje

    =0+limn+(akn+k1+akn+k)= =limn+ak(1n+k1+n+k)=0.

    Tvrzení je indukcí dokázáno.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Zaslat komentář k úloze