Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Limita posloupnosti s odmocninou - metoda usměrnění VII
Úloha číslo: 838
Určete limitu posloupnosti
limn→∞k∑i=0ai√n+i,pokud je k pevně zvolené přirozené číslo a a1, …, ak reálná čísla splňující
k∑i=0ai=0.Návod: Výsledek odhadněte výpočtem pro k = 1, 2, 3. Pro k = 3 si uvědomte, že výraz v limitě lze psát ve tvaru
a1√n+1+a2√n+2+(−a1−a2)√n+3= a1(√n+1−√n+3)+a2(√n+2−√n+3).Pro důkaz, že váš odhad je správný pro obecné k, použijte matematickou indukci podle parametru k nebo způsob výpočtu analogický výše uvedenému pro k = 3.
Řešení
Limita je nulová, což dokážeme indukcí. Jestliže k = 1, pak je to jednoduché, neboť z podmínky
∑ai=a0+a1=0plyne, že
a0=−a1,a tedy
limn→+∞a0√n+a1√n+1=limn→+∞a0(√n−√n+1)= =limn→+∞a0(−1√n+√n+1)=0.Indukční předpoklad tedy je, že tvrzení platí pro přirozená čísla 1, ..., k – 1 a dokazujeme jej pro číslo k. Potom položme
B=−a0−a1−…−ak−2.Platí, že
limn→+∞k∑i=0ai√n+i= =limn→+∞(k−2∑i=0ai√n+i+B√n+k−1)+ +((ak−1−B)√n+k−1+ak√n+k)=nyní první limita je rovna nule aplikací indukčního předpokladu, protože
B+k−2∑i=0ai=0a těchto členů je celkem k – 1. Odtud také plyne, že
ak+ak−1−B=0,a tedy
ak−1−B=−ak.Výpočet tedy pokračuje
=0+limn→+∞(−ak√n+k−1+ak√n+k)= =limn→+∞ak(−1√n+k−1+√n+k)=0.Tvrzení je indukcí dokázáno.