Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita posloupnosti s odmocninou - metoda usměrnění VII

Úloha číslo: 838

Určete limitu posloupnosti

\[\lim_{\small n\to\infty} \sum_{i=0}^k a_i\sqrt{n+i},\]

pokud je k pevně zvolené přirozené číslo a a1, …, ak reálná čísla splňující

\[\sum_{i=0}^k a_i = 0.\]

Návod: Výsledek odhadněte výpočtem pro k = 1, 2, 3. Pro k = 3 si uvědomte, že výraz v limitě lze psát ve tvaru

\[a_1\sqrt{n+1} + a_2\sqrt{n+2} + (-a_1-a_2)\sqrt{n+3} =\] \[a_1\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n+3}\right) + a_2\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+3}\right).\]

Pro důkaz, že váš odhad je správný pro obecné k, použijte matematickou indukci podle parametru k nebo způsob výpočtu analogický výše uvedenému pro k = 3.

  • Řešení

    Limita je nulová, což dokážeme indukcí. Jestliže k = 1, pak je to jednoduché, neboť z podmínky

    \[\sum a_i = a_0+a_1 = 0\]

    plyne, že

    \[a_0 = -a_1,\]

    a tedy

    \[\lim_{n\to+\infty} a_0\sqrt{n} + a_1\sqrt{n+1} = \lim_{n\to+\infty} a_0\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right) = \] \[ = \lim_{n\to+\infty} a_0\left(\frac{-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\right) = 0.\]

    Indukční předpoklad tedy je, že tvrzení platí pro přirozená čísla 1, ..., k – 1 a dokazujeme jej pro číslo k. Potom položme

    \[B = -a_0-a_1-\ldots-a_{k-2}.\]

    Platí, že

    \[\lim_{n\to+\infty} \sum_{i=0}^k a_i\sqrt{n+i} =\] \[ = \lim_{n\to+\infty} \left(\sum_{i=0}^{k-2} a_i\sqrt{n+i} + B\sqrt{n+k-1}\right) + \] \[ + \left((a_{k-1}-B)\sqrt{n+k-1} + a_k\sqrt{n+k}\right) =\]

    nyní první limita je rovna nule aplikací indukčního předpokladu, protože

    \[ B + \sum_{i=0}^{k-2} a_i = 0\]

    a těchto členů je celkem k – 1. Odtud také plyne, že

    \[a_k + a_{k-1}-B = 0,\]

    a tedy

    \[a_{k-1}-B = -a_k.\]

    Výpočet tedy pokračuje

    \[ = 0+ \lim_{n\to+\infty} \left(-a_k\sqrt{n+k-1} + a_k\sqrt{n+k}\right) =\] \[ = \lim_{n\to+\infty} a_k\left(\frac{-1}{\sqrt{n+k-1} + \sqrt{n+k}}\right) = 0.\]

    Tvrzení je indukcí dokázáno.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Zaslat komentář k úloze