Sbírka řešených úloh

Limita posloupnosti s odmocninou - metoda usměrnění VII

Úloha číslo: 838

• Řešení

  Limita je nulová, což dokážeme indukcí. Jestliže k = 1, pak je to jednoduché, neboť z podmínky

  $$\sum a_i = a_0+a_1 = 0$$

  plyne, že

  $$a_0 = -a_1,$$

  a tedy

  $$\lim_{n\to+\infty} a_0\sqrt{n} + a_1\sqrt{n+1} = \lim_{n\to+\infty} a_0\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right) =$$ $$= \lim_{n\to+\infty} a_0\left(\frac{-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\right) = 0.$$

  Indukční předpoklad tedy je, že tvrzení platí pro přirozená čísla 1, ..., k – 1 a dokazujeme jej pro číslo k. Potom položme

  $$B = -a_0-a_1-\ldots-a_{k-2}.$$

  Platí, že

  $$\lim_{n\to+\infty} \sum_{i=0}^k a_i\sqrt{n+i} =$$ $$= \lim_{n\to+\infty} \left(\sum_{i=0}^{k-2} a_i\sqrt{n+i} + B\sqrt{n+k-1}\right) +$$ $$+ \left((a_{k-1}-B)\sqrt{n+k-1} + a_k\sqrt{n+k}\right) =$$

  nyní první limita je rovna nule aplikací indukčního předpokladu, protože

  $$B + \sum_{i=0}^{k-2} a_i = 0$$

  a těchto členů je celkem k – 1. Odtud také plyne, že

  $$a_k + a_{k-1}-B = 0,$$

  a tedy

  $$a_{k-1}-B = -a_k.$$

  Výpočet tedy pokračuje

  $$= 0+ \lim_{n\to+\infty} \left(-a_k\sqrt{n+k-1} + a_k\sqrt{n+k}\right) =$$ $$= \lim_{n\to+\infty} a_k\left(\frac{-1}{\sqrt{n+k-1} + \sqrt{n+k}}\right) = 0.$$

  Tvrzení je indukcí dokázáno.