Sbírka řešených úloh

Limita cyklometrické funkce IX.

Úloha číslo: 1228

• Budeme potřebovat..

  Goniometrické vztahy

  \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1, \] \[ \mathrm{tg}\, x = \frac{\sin x}{\cos x}, \] \[ \mathrm{tg}\, \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \mathrm{cotg}\, x = \frac{1}{\mathrm{tg}\, x}. \]

  Limitu

  \[ \lim\limits_{x\to 0} \frac{\mathrm{arctg}\, x}{x}=1. \]

  Větu

  • Věta o limitě složené funkce.

• Nápověda 1

  Všimněte si nejprve výrazu \[ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \] v argumentu funkce \(\arcsin\).

  Označte \(x=\mathrm{tg}\, y\) a touto substitucí výraz zjednodušte.

• Řešení nápovědy 1

  Nejprveme upravíme výraz v argumentu funkce \(\arcsin\). Označíme \(x=\mathrm{tg}\, y\). Pro \(y\in(0,\frac{\pi}{2})\) můžeme psát \[ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}= \frac{\mathrm{tg}\, y}{\sqrt{\mathrm{tg}\,^2 y + 1}}= \frac{\mathrm{tg}\, y}{\sqrt{\frac{\sin^2 y}{\cos^2 y} +1}}= \frac{\mathrm{tg}\, y}{\sqrt{\frac{\sin^2 y + \cos^2 y}{\cos^2 y}}}= \frac{\mathrm{tg}\, y}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2 y}}}.\] Neboť uvažujeme \(y\in(0,\frac{\pi}{2})\), je \(\cos y \gt 0\) a v dalším kroku lze absolutní hodnotu vynechat. \[ \frac{\mathrm{tg}\, y}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2 y}}} = \mathrm{tg}\, y \cdot \cos y = \frac{\sin y}{\cos y}\cdot \cos y = \sin y. \]

• Nápověda 2

  Zjistili jsme, že pro \(y\in(0,\frac{\pi}{2})\) platí \[ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \sin y, \tag{1}\] kde \[ x = \mathrm{tg}\, y. \tag{2}\] Pomocí rovnic (1) a (2) vyjádřete původní výraz v limitě, tj. \( \arcsin\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\), pomocí proměnné \(x\).

• Řešení nápovědy 2

  Neboť pro \(y\in(0,\frac{\pi}{2})\) platí \(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \sin y\), kde \(x = \mathrm{tg}\, y\), lze psát \[ \begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} &= & \sin y,\\ \arcsin\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} &= & y,\\ \arcsin\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} &= & \mathrm{arctg}\, x. \end{eqnarray*} \] A tedy \[ \lim\limits_{x\to+\infty} x\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right)= \lim\limits_{x\to+\infty} x\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{arctg}\, x \right) . \]

• Nápověda 3

  Nyní řešíme limitu \[ \lim\limits_{x\to+\infty} x\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{arctg}\, x \right) . \] K jejímu dalšímu zjednodušení použijte identitu \[ \mathrm{tg}\,\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \mathrm{cotg}\, \alpha = \frac{1}{\mathrm{tg}\, \alpha}. \]

• Řešení nápovědy 3

  K dalšímu zjednodušení použijeme tuto identitu \[ \mathrm{tg}\,\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \mathrm{cotg}\, \alpha = \frac{1}{\mathrm{tg}\, \alpha}. \] Dosazením \(\alpha = \mathrm{arctg}\, x\) pro \(x\gt 0\) platí \[ \begin{eqnarray*} \mathrm{tg}\,\left(\frac{\pi}{2} - \mathrm{arctg}\, x\right) &= & \frac{1}{x}\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \left(\frac{\pi}{2} - \mathrm{arctg}\, x\right) &= & \mathrm{arctg}\,\frac{1}{x}. \end{eqnarray*} \] Užitím tohoto poznatku se limita zjednoduší \[ \lim\limits_{x\to+\infty} x\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{arctg}\, x \right)= \lim\limits_{x\to+\infty} \left(x\cdot\mathrm{arctg}\,\frac{1}{x}\right). \]

• Nápověda 4

  Výraz vhodně upravte a zaveďte substituci \(y= \frac{1}{x}\). Ověřte podmínky pro užití Věta o limitě složené funkce a limitu dopočítejte užitím známé limity \[ \lim\limits_{y\to0} \frac{\mathrm{arctg}\, y}{y}=1, \] jejíž odvození naleznete v příkladu Základní limity cyklometrických funkcí, v sekci c.

• Řešení nápovědy 4

  Výraz v limitě vhodně upravíme \[ \lim\limits_{x\to+\infty} \left(x\cdot\mathrm{arctg}\,\frac{1}{x}\right)= \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{\mathrm{arctg}\,\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} . \] Neboť \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 0\) a existujte redukované okolí \(+\infty\), na kterém \(\frac{1}{x}\neq 0\), např. \((0,+\infty)\), lze dle Věta o limitě složené funkce psát \[ \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{\mathrm{arctg}\,\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} = \lim\limits_{y\to 0} \frac{\mathrm{arctg}\, y}{y} , \] což je přímo základní limita cyklometrické funkce, tedy \[ \lim\limits_{y\to 0} \frac{\mathrm{arctg}\, y}{y} = 1 . \] Viz Základní limity cyklometrických funkcí, sekce c.

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  \[ \lim\limits_{x\to+\infty} x\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right). \]

  ---

  Nejprveme upravíme výraz v argumentu funkce \(\arcsin\). Označíme \(x=\mathrm{tg}\, y\). Pro \(y\in(0,\frac{\pi}{2})\) můžeme psát \[ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}= \frac{\mathrm{tg}\, y}{\sqrt{\mathrm{tg}\,^2 y +1}}= \frac{\mathrm{tg}\, y}{\sqrt{\frac{\sin^2 y}{\cos^2 y} +1}}= \frac{\mathrm{tg}\, y}{\sqrt{\frac{\sin^2 y + \cos^2 y}{\cos^2 y}}}= \frac{\mathrm{tg}\, y}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2 y}}}.\] Neboť uvažujeme \(y\in(0,\frac{\pi}{2})\), je \(\cos y \gt 0\) a v dalším kroku lze absolutní hodnotu vynechat. \[ \frac{\mathrm{tg}\, y}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2 y}}} = \mathrm{tg}\, y \cdot \cos y = \frac{\sin y}{\cos y}\cdot \cos y = \sin y. \] Neboť pro \(y\in(0,\frac{\pi}{2})\) platí \(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \sin y\), kde \(x = \mathrm{tg}\, y\), lze psát \[ \begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} &= & \sin y,\\ \arcsin\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} &= & y,\\ \arcsin\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} &= & \mathrm{arctg}\, x. \end{eqnarray*} \] A tedy \[ \lim\limits_{x\to+\infty} x\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right)= \lim\limits_{x\to+\infty} x\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{arctg}\, x \right) . \] K dalšímu zjednodušení použijeme tuto identitu \[ \mathrm{tg}\,\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \mathrm{cotg}\, \alpha = \frac{1}{\mathrm{tg}\, \alpha}. \] Dosazením \(\alpha = \mathrm{arctg}\, x\) pro \(x\gt 0\) platí \[ \begin{eqnarray*} \mathrm{tg}\,\left(\frac{\pi}{2} - \mathrm{arctg}\, x\right) &= & \frac{1}{x}\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \left(\frac{\pi}{2} - \mathrm{arctg}\, x\right) &= & \mathrm{arctg}\,\frac{1}{x}. \end{eqnarray*} \] Užitím tohoto poznatku se limita zjednoduší \[ \lim\limits_{x\to+\infty} x\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{arctg}\, x \right)= \lim\limits_{x\to+\infty} \left(x\cdot\mathrm{arctg}\,\frac{1}{x}\right). \] Výraz v limitě vhodně upravíme \[ \lim\limits_{x\to+\infty} \left(x\cdot\mathrm{arctg}\,\frac{1}{x}\right)= \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{\mathrm{arctg}\,\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} . \] Neboť \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 0\) a existujte redukované okolí \(+\infty\), na kterém \(\frac{1}{x}\neq 0\), např. \((0,+\infty)\), lze dle Věta o limitě složené funkce psát \[ \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{\mathrm{arctg}\,\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} = \lim\limits_{y\to 0} \frac{\mathrm{arctg}\, y}{y} , \] což je přímo základní limita cyklometrické funkce, tedy \[ \lim\limits_{y\to 0} \frac{\mathrm{arctg}\, y}{y} = 1 . \] Viz Základní limity cyklometrických funkcí, sekce c.

• Výsledek

  \[ \lim\limits_{x\to+\infty} x\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right)=1. \]