Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti s odmocninou - metoda usměrnění I
Úloha číslo: 830
Určete limitu následujících posloupností:
(a) \[\lim_{\small n\to\infty} \ \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right),\]
(b) \[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt{n}\,\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right).\]
Komentář: Vytknutí nejvyšší mocniny ze závorky a následné provedení podle věty o limitě součinu vede na neurčitý výraz. Hodnotu limity tímto způsobem tedy určit nelze.
Nápověda
Použijte metodu rozšíření odmocniny podle vztahu
\[\sqrt{a}-\sqrt{b} = \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\]Řešení
(a) Určujeme limitu
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right).\]Podle vztahu uvedeného v nápovědě dostáváme
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \left[\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) \cdot \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right] = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \]a podle věty o aritmetice limit
\[ = \frac{1}{\lim\limits_{\small n\to\infty} \sqrt{n+1}+\lim\limits_{\small n\to\infty} \sqrt{n}} = \]a podle části (e) úlohy Limita pod odmocninou I dostaneme
\[ = \frac{1}{+\infty + (+\infty)} = \frac{1}{+\infty} = 0.\](b) Určujeme limitu
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt{n}\,\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right).\]Podle vztahu uvedeného v nápovědě dostáváme
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \left[\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) \cdot \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right] = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt{n}\cdot\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \]dále vytknutím ze jmenovatele
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}(\sqrt{1+1/n}+1)} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{1}{\sqrt{1+1/n}+1} = \]a podle věty o aritmetice limit
\[ = \frac{1}{\lim\limits_{\small n\to\infty} \sqrt{1+1/n}+\lim\limits_{\small n\to\infty} 1} = \]a podle části (a) úlohy Limita pod odmocninou I dostaneme
\[ = \frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{1}{2}.\]
