Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita posloupnosti s odmocninou - metoda usměrnění I

Úloha číslo: 830

Určete limitu následujících posloupností:

(a) \[\lim_{\small n\to\infty} \ \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right),\]

(b) \[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt{n}\,\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right).\]

Komentář: Vytknutí nejvyšší mocniny ze závorky a následné provedení podle věty o limitě součinu vede na neurčitý výraz. Hodnotu limity tímto způsobem tedy určit nelze.

  • Nápověda

    Použijte metodu rozšíření odmocniny podle vztahu

    \[\sqrt{a}-\sqrt{b} = \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\]
  • Řešení

    (a) Určujeme limitu

    \[\lim_{\small n\to\infty} \ \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right).\]

    Podle vztahu uvedeného v nápovědě dostáváme

    \[\lim_{\small n\to\infty} \ \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \left[\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) \cdot \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right] = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \]

    a podle věty o aritmetice limit

    \[ = \frac{1}{\lim\limits_{\small n\to\infty} \sqrt{n+1}+\lim\limits_{\small n\to\infty} \sqrt{n}} = \]

    a podle části (e) úlohy Limita pod odmocninou I dostaneme

    \[ = \frac{1}{+\infty + (+\infty)} = \frac{1}{+\infty} = 0.\]

    (b) Určujeme limitu

    \[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt{n}\,\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right).\]

    Podle vztahu uvedeného v nápovědě dostáváme

    \[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \left[\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) \cdot \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right] = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt{n}\cdot\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \]

    dále vytknutím ze jmenovatele

    \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}(\sqrt{1+1/n}+1)} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{1}{\sqrt{1+1/n}+1} = \]

    a podle věty o aritmetice limit

    \[ = \frac{1}{\lim\limits_{\small n\to\infty} \sqrt{1+1/n}+\lim\limits_{\small n\to\infty} 1} = \]

    a podle části (a) úlohy Limita pod odmocninou I dostaneme

    \[ = \frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{1}{2}.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze