Sbírka řešených úloh

Primitivní funkce 2. - Parciální zlomky

Úloha číslo: 1266

• Rozbor

  Vzhledem ke skutečnosti, že máme integrovat racionální lomenou funkci, přičemž v jejím jmenovateli je reducibilní polynom s celočíselnými kořeny a zároveň platí, že polynom v čitateli má nižší stupeň než polynom ve jmenovateli zlomku, povede úloha na řešení pomocí takzvané metody rozkladu na parciální zlomky, využití linearity neurčitého integrálu a následné hledání primitivní funkce Přehled základních primitivních funkcí.

• Nápověda 1.

  Metodou rozkladu na parciální zlomky rozložte lomený výraz.

• Řešení 1.

  Výraz ve jmenovateli zlomku nejprve upravíme do součinového tvaru, buď pomocí metody součet/součin nebo pomocí hledání diskriminantu a kořenů kvadratické rovnice jako:

  \[\frac{x+5}{x^2-4x+3}=\frac{x+5}{(x-1)(x-3)}\]

  využijeme teorie známé z věty o rozkladu na parciální zlomky a výraz rozložíme:

  \[\frac{x+5}{(x-1)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-3}\]

  kde A,B jsou námi hledané koeficienty.

  Obě strany rovnice přenásobíme tak, abychom se zbavili zlomků:

  \[x+5=A(x-3)+B(x-1)\] \[1 \cdot x+x^0 {\cdot} 5=x(A+B)+x^0(-3A-B)\]

  porovnáním koeficientů členů jednotlivých stupňů polynomu získáváme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:

  \[5=-3A-B\Rightarrow B=-3A-5\] \[1=A+B \Rightarrow\]

  dosadíme výraz pro B získaný z první rovnice do druhé a obdržíme hledané koeficienty:

  \[1=A-3A-5\Rightarrow A=-3 \Rightarrow B=4\]

  získané A a B dosadíme do původní rovnosti:

  \[\frac{x+5}{(x-1)(x-3)}=-\frac{3}{x-1}+\frac{4}{x-3}\]

• Nápověda 2.

  Za využití linearity integrálu, substituce a úlohy Přehled základních primitivních funkcí zintegrujte zlomky zíksané rozkladem.

• Řešení 2.

  Z rozkladu víme \(\frac{x+5}{(x-1)(x-3)}=-\frac{3}{x-1}+\frac{4}{x-3}\), přepišme tedy integrál jako:

  \[\int{\frac{x+5}{(x-1)(x-3)}}dx=-3\int{\frac{1}{x-1}}dx+4\int{\frac{1}{x-3}}dx\]

  Provedeme substituce:

  \[w:=x-1 \Rightarrow dx=1dw\]

  pro první integrál

  \[z:=x-3 \Rightarrow dx=1dz\]

  pro druhý integrál

  a po zavedení obou substitucí získáváme:

  \[=-3\int{\frac{1}{w}}dw+4\int{\frac{1}{z}}dz=\]

  pomocí úlohy Přehled základních primitivních funkcí zjistíme primitivní funkce:

  \[=-3\ln{|w|}+4\ln{|z|}+c\]

  zavedeme zpětnou substituci:

  \[=-3\ln{|x-1|}+4\ln{|x-3|}+c\]