Sbírka řešených úloh

Limita posloupnosti a limita funkce II.

Úloha číslo: 1230

• Rozbor

  Pro \(x=0\) se jedná o limitu z konstantní posloupnosti, je rovna \(1\). Pokud je \(x\neq 0\), použijeme Heineho věta.

• Nápověda 1

  Je zřejmé, že pro \(x=0\) se jedná o limitu z konstantní posloupnosti, tj. limita je rovna \(1\).

  Uvažujte případ \(x\neq 0\). Použijte Heineho věta. Zaveďte vhodnou substituci, aby po aplikaci exponenciálního triku úloha vedla k použití známé limity pro logaritmus

  \[ \lim\limits_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}=1. \]

• Řešení nápovědy 1

  Limitu vhodně upravíme a následně užijeme Heineho věta. \[ \lim\limits_{n\to+\infty}\cos^n\frac{x}{\sqrt{n}} = \lim\limits_{n\to+\infty}\left[\cos\left(x\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \right]^n. \] Označme \(y=\frac{1}{\sqrt{n}}\). Protože je splněna podmínka (P) Věta o limitě složené funkce, neboť \(\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} = 0\) a současně existuje prstencové okolí \(+\infty\) takové, že \(\frac{1}{\sqrt{n}} \neq 0\), například okolí \(\left(0,+\infty\right)\), lze psát \[ \lim\limits_{n\to+\infty}\left[\cos\left(x\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \right]^n= \lim\limits_{y\to 0}\left[\cos\left(xy\right) \right]^\frac{1}{y^2}. \]

• Nápověda 2

  Užijte exponenciální trik a limitu „vnořte“ do exponentu. Výraz vhodně rozšiřte, aby bylo možné použít známou limitu pro logaritmus \[ \lim\limits_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1} = 1. \]

• Řešení nápovědy 2

  Provedeme exponenciální trik. Neboť je exponenciála spojitá na celém svém definičním oboru, je splněna podmínka (S) Věta o limitě složené funkce, limitu tedy „vnoříme“ \[ \lim\limits_{y\to 0}\left[\cos\left(xy\right) \right]^\frac{1}{y^2}= \lim\limits_{y\to 0} \left[\exp \frac{\ln \cos\left(xy\right) }{y^2}\right] = \exp \left[\lim\limits_{y\to 0} \frac{\ln \cos\left(xy\right) }{y^2}\right]. \] Výraz vhodně rozšíříme, aby bylo možné použít důležitou limitu pro logaritmus \[ \exp \left[\lim\limits_{y\to 0} \frac{\ln \cos\left(xy\right) }{y^2}\right]= \exp \left[\lim\limits_{y\to 0} \frac{\left(\cos\left(xy\right)-1\right)\cdot\ln \cos\left(xy\right)}{y^2\left(\cos\left(xy\right)-1\right)} \right]. \]

• Nápověda 3

  Užijte Věta o limitě složené funkce k převedení části limity na známou limitu pro logaritmus. Aplikujte větu o aritmetice limit.

• Řešení nápovědy 3

  Označme \(z=\cos(xy)\). Protože je splněna podmínka (P) Věta o limitě složené funkce, neboť \(\lim\limits_{y\to0}\cos(xy) = 1\) a současně existuje prstencové okolí \(0\) takové, že \(\cos(xy) \neq 1\), například okolí \((-\frac{\pi}{2x},\frac{\pi}{2x})\setminus\lbrace 0\rbrace\), lze psát \[ \exp \left[\lim\limits_{y\to 0} \frac{\left(\cos\left(xy\right)-1\right)\cdot\ln \cos\left(xy\right)}{y^2\left(\cos\left(xy\right)-1\right)} \right]= \exp \left[\lim\limits_{z\to 1} \frac{x^2\left(z-1\right)}{(\arccos z)^2 } \frac{\ln{z}}{z-1}\right]. \] Bude-li mít výsledný výraz smysl, můžeme dle aritmetiky limit psát \[ \exp \left[\lim\limits_{z\to 1} \frac{x^2\left(z-1\right)}{(\arccos z)^2 } \frac{\ln{z}}{z-1}\right]= \exp \left[\lim\limits_{z\to 1} \frac{x^2\left(z-1\right)}{(\arccos z)^2 }\cdot \lim\limits_{z\to 1} \frac{\ln{z}}{z-1}\right]. \]

• Nápověda 4

  Dalším použitím věty o aritmetice limit, Věta o limitě složené funkce limitu dopočítejte.

  Připomeňte si důležitou limitu pro kosinus

  \[ \lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}. \]

• Řešení nápovědy 4

  Označíme-li \(z = \cos w\), lze dle Věta o limitě složené funkce psát \[ \exp \left[\lim\limits_{z\to 1} \frac{x^2\left(z-1\right)}{(\arccos z)^2 }\cdot \lim\limits_{z\to 1} \frac{\ln{z}}{z-1}\right] = \exp \left[\lim\limits_{w\to 0} \frac{x^2\left(\cos w-1\right)}{w^2 }\cdot \lim\limits_{z\to 1} \frac{\ln{z}}{z-1} \right], \] vytknutím mínus ze závorky a dalším použitím věty o aritmetice limit získáme předposlední část výpočtu \[ = \exp \left[\lim\limits_{w\to 0}(-x^2)\cdot\lim\limits_{w\to 0} \frac{1-\cos w}{w^2 }\cdot \lim\limits_{z\to 1} \frac{\ln{z}}{z-1} \right]. \] Druhá limita je důležitá limita pro kosinus, třetí pak často užívána limita pro logaritmus. Dosadíme a limitu dopočítáme \[ \exp \left[\lim\limits_{w\to 0}(-x^2)\cdot\lim\limits_{w\to 0} \frac{1-\cos w}{w^2 }\cdot \lim\limits_{z\to 1} \frac{\ln{z}}{z-1} \right] = \exp\left[-x^2\cdot\frac{1}{2}\cdot1\right] = e^{-\frac{x^2}{2}}. \]

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Limitu vhodně upravíme a užijeme Heineho věta. \[ \lim\limits_{n\to+\infty}\cos^n\frac{x}{\sqrt{n}} = \lim\limits_{n\to+\infty}\left[\cos\left(x\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \right]^n. \] Označme \(y=\frac{1}{\sqrt{n}}\). Protože je splněna podmínka (P) Věta o limitě složené funkce, neboť \(\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} = 0\) a současně existuje prstencové okolí \(+\infty\) takové, že \(\frac{1}{\sqrt{n}} \neq 0\), například okolí \(\left(0,+\infty\right)\), lze psát \[ \lim\limits_{n\to+\infty}\left[\cos\left(x\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \right]^n= \lim\limits_{y\to 0}\left[\cos\left(xy\right) \right]^\frac{1}{y^2}. \] Provedeme exponenciální trik. Neboť je exponenciála spojitá na celém svém definičním oboru, je splněna podmínka (S) Věta o limitě složené funkce, limitu tedy „vnoříme“ \[ \lim\limits_{y\to 0}\left[\cos\left(xy\right) \right]^\frac{1}{y^2}= \lim\limits_{y\to 0} \left[\exp \frac{\ln \cos\left(xy\right) }{y^2}\right] = \exp \left[\lim\limits_{y\to 0} \frac{\ln \cos\left(xy\right) }{y^2}\right]. \] Výraz vhodně rozšíříme, aby bylo možné použít důležitou limitu pro logaritmus \[ \exp \left[\lim\limits_{y\to 0} \frac{\ln \cos\left(xy\right) }{y^2}\right]= \exp \left[\lim\limits_{y\to 0} \frac{\left(\cos\left(xy\right)-1\right)\cdot\ln \cos\left(xy\right)}{y^2\left(\cos\left(xy\right)-1\right)} \right]. \] Označme \(z=\cos(xy)\). Protože je splněna podmínka (P) Věta o limitě složené funkce, neboť \(\lim\limits_{y\to0}\cos(xy) = 1\) a současně existuje prstencové okolí \(0\) takové, že \(\cos(xy) \neq 1\), například okolí \((-\frac{\pi}{2x},\frac{\pi}{2x})\setminus\lbrace 0\rbrace\), lze psát \[ \exp \left[\lim\limits_{y\to 0} \frac{\left(\cos\left(xy\right)-1\right)\cdot\ln \cos\left(xy\right)}{y^2\left(\cos\left(xy\right)-1\right)} \right]= \exp \left[\lim\limits_{z\to 1} \frac{x^2\left(z-1\right)}{(\arccos z)^2 } \frac{\ln{z}}{z-1}\right]. \] Bude-li mít výsledný výraz smysl, můžeme dle aritmetiky limit psát \[ \exp \left[\lim\limits_{z\to 1} \frac{x^2\left(z-1\right)}{(\arccos z)^2 } \frac{\ln{z}}{z-1}\right]= \exp \left[\lim\limits_{z\to 1} \frac{x^2\left(z-1\right)}{(\arccos z)^2 }\cdot \lim\limits_{z\to 1} \frac{\ln{z}}{z-1}\right]. \] Označíme-li \(z = \cos w\), lze dle Věta o limitě složené funkce psát \[ \exp \left[\lim\limits_{z\to 1} \frac{x^2\left(z-1\right)}{(\arccos z)^2 }\cdot \lim\limits_{z\to 1} \frac{\ln{z}}{z-1}\right] = \exp \left[\lim\limits_{w\to 0} \frac{x^2\left(\cos w-1\right)}{w^2 }\cdot \lim\limits_{z\to 1} \frac{\ln{z}}{z-1} \right], \] vytknutím mínus ze závorky a dalším použitím věty o aritmetice limit získáme předposlední část výpočtu \[ = \exp \left[\lim\limits_{w\to 0}(-x^2)\cdot\lim\limits_{w\to 0} \frac{1-\cos w}{w^2 }\cdot \lim\limits_{z\to 1} \frac{\ln{z}}{z-1} \right]. \] Druhá limita je důležitá limita pro kosinus, třetí pak často užívána limita pro logaritmus. Dosaďme tedy \[ \exp \left[\lim\limits_{w\to 0}(-x^2)\cdot\lim\limits_{w\to 0} \frac{1-\cos w}{w^2 }\cdot \lim\limits_{z\to 1} \frac{\ln{z}}{z-1} \right] = \exp\left[-x^2\cdot\frac{1}{2}\cdot1\right] = e^{-\frac{x^2}{2}}. \]

• Výsledek

  \[ \lim\limits_{n\to+\infty}\cos^n\frac{x}{\sqrt{n}} = \begin{cases} 1\quad & \mathrm{pro}~x = 0,\\ e^{-\frac{x^2}2{}} \quad & \mathrm{pro}~x \in \mathbb{R}\setminus\lbrace 0\rbrace. \end{cases} \]