Sbírka řešených úloh

Limita goniometrické funkce I.

Úloha číslo: 1182

• Nápověda 1

  Připomeňte si důležitou limitu: \[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \mathrm{,} \] a uvědomte si, že užitím substituce lze ukázat: \[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin {(5x)}}{5x} = 1\mathrm{,}\qquad \lim_{x\to 0} \frac{\sin {(3x)}}{3x} = 1 \mathrm{.} \] Zlomek „roztrhněte“ na dva. Oba zlomky vhodně rozšiřte, aby bylo možné použít právě uvedené limity.

• Řešení nápovědy 1

  Zlomek roztrhneme na dva a použijeme větu o aritmetice limit: \[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin 5x-\sin 3x}{\sin x} = \lim_{x\to 0}\left( \frac{\sin 5x}{\sin x}- \frac{\sin 3x}{\sin x}\right) = \lim_{x\to 0} \frac{\sin 5x}{\sin x}-\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{\sin x} \mathrm{.} \] Vzniknuté zlomky vhodně rozšíříme tak, abychom mohli použít limitu: \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\), nebo její subtituovanou modifikaci: \[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin 5x}{\sin x}-\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin 5x}{5x}5x}{\frac{\sin x}{x}x} - \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{3x}3x}{\frac{\sin x}{x}x} \mathrm{.} \]

• Nápověda 2

  Vykraťte \(x\). Aplikujte větu o aritmetice limit a užijte limity: \[\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\mathrm{,}\] či její subtituované modifikace.

• Řešení nápovědy 2

  Vykrácením \(x\), aplikací věty o aritmetice limit a použitím limit: \[\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x\to 0} \frac{\sin (5x)}{5x} = 1, \qquad \lim_{x\to 0} \frac{\sin (3x)}{3x} = 1\mathrm{,}\] získáme: \[ \frac{\lim_{x\to 0} \frac{\sin 5x}{5x}}{\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}}\cdot 5 - \frac{\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{3x}}{\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}}\cdot 3 =\frac{1}{1}\cdot 5 - \frac{1}{1}\cdot 3 = 2 \mathrm{.} \]

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Zlomek roztrhneme na dva a využijeme větu o aritmetice limit: \[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin 5x-\sin 3x}{\sin x} = \lim_{x\to 0}\left( \frac{\sin 5x}{\sin x}- \frac{\sin 3x}{\sin x}\right) = \lim_{x\to 0} \frac{\sin 5x}{\sin x}-\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{\sin x} \mathrm{.} \] Vzniknuté zlomky vhodně rozšíříme tak, abychom mohli použít limitu: \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\), nebo její substituovanou modifikaci: \[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin 5x}{\sin x}-\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin 5x}{5x}5x}{\frac{\sin x}{x}x} - \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{3x}3x}{\frac{\sin x}{x}x} \mathrm{.} \] Vykrácením \(x\), aplikací věty o aritmetice limit a použitím limit: \[\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x\to 0} \frac{\sin (5x)}{5x} = 1, \qquad \lim_{x\to 0} \frac{\sin (3x)}{3x} = 1\mathrm{,}\] získáme: \[ \frac{\lim_{x\to 0} \frac{\sin 5x}{5x}}{\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}}\cdot 5 - \frac{\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{3x}}{\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}}\cdot 3 =\frac{1}{1}\cdot 5 - \frac{1}{1}\cdot 3 = 2 \mathrm{.} \]

• Výsledek

  \[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin 5x-\sin 3x}{\sin x} = 2 \mathrm{.} \]