Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti - komplexní úloha IV
Úloha číslo: 853
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ (-1)^n\, \frac{n^3\sqrt[n]{n}}{n^3+\sqrt[2n]{n}}.\]Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ (-1)^n\, \frac{n^3\sqrt[n]{n}}{n^3+\sqrt[2n]{n}}.\]Začneme tím, že podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina II je
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1.\]A protože je zřejmě
\[1\leq \sqrt[2n]{n} \leq \sqrt[n]{n},\]podle úlohy Věta o dvou policajtech je také
\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[2n]{n} = 1.\]Z toho vyplývá, že
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^3\sqrt[n]{n}}{n^3+\sqrt[2n]{n}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{1+\sqrt[2n]{n}/n^3} = \frac{1}{1+1/+\infty} = \frac{1}{1+0} = 1.\]Nakonec přidáme člen (–1)n. Vybereme-li pouze podposloupnost lichých n, je
\[ \lim_{\substack{\small n\to\infty \\ n \textrm{ lichá }}} (-1)^n\cdot \frac{n^3\sqrt[n]{n}}{n^3+\sqrt[2n]{n}} = \lim_{\substack{\small n\to\infty \\ n \textrm{ lichá }}} -\frac{n^3\sqrt[n]{n}}{n^3+\sqrt[2n]{n}} = -1,\]zatímco vybereme-li pouze podposloupnost sudých n, je
\[ \lim_{\substack{\small n\to\infty \\ n \textrm{ sudá }}} (-1)^n\cdot \frac{n^3\sqrt[n]{n}}{n^3+\sqrt[2n]{n}} = \lim_{\substack{\small n\to\infty \\ n \textrm{ sudá }}} \frac{n^3\sqrt[n]{n}}{n^3+\sqrt[2n]{n}} = 1.\]Protože dvě vybrané podposloupnosti mají různou limitu, limita celé posloupnosti neexistuje.