Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita posloupnosti - komplexní úloha IV

Úloha číslo: 853

Určete limitu posloupnosti

\[\lim_{\small n\to\infty} \ (-1)^n\, \frac{n^3\sqrt[n]{n}}{n^3+\sqrt[2n]{n}}.\]
  • Řešení

    Určujeme limitu posloupnosti

    \[\lim_{\small n\to\infty} \ (-1)^n\, \frac{n^3\sqrt[n]{n}}{n^3+\sqrt[2n]{n}}.\]

    Začneme tím, že podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina II je

    \[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1.\]

    A protože je zřejmě

    \[1\leq \sqrt[2n]{n} \leq \sqrt[n]{n},\]

    podle úlohy Věta o dvou policajtech je také

    \[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[2n]{n} = 1.\]

    Z toho vyplývá, že

    \[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^3\sqrt[n]{n}}{n^3+\sqrt[2n]{n}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{1+\sqrt[2n]{n}/n^3} = \frac{1}{1+1/+\infty} = \frac{1}{1+0} = 1.\]

    Nakonec přidáme člen (–1)n. Vybereme-li pouze podposloupnost lichých n, je

    \[ \lim_{\substack{\small n\to\infty \\ n \textrm{ lichá }}} (-1)^n\cdot \frac{n^3\sqrt[n]{n}}{n^3+\sqrt[2n]{n}} = \lim_{\substack{\small n\to\infty \\ n \textrm{ lichá }}} -\frac{n^3\sqrt[n]{n}}{n^3+\sqrt[2n]{n}} = -1,\]

    zatímco vybereme-li pouze podposloupnost sudých n, je

    \[ \lim_{\substack{\small n\to\infty \\ n \textrm{ sudá }}} (-1)^n\cdot \frac{n^3\sqrt[n]{n}}{n^3+\sqrt[2n]{n}} = \lim_{\substack{\small n\to\infty \\ n \textrm{ sudá }}} \frac{n^3\sqrt[n]{n}}{n^3+\sqrt[2n]{n}} = 1.\]

    Protože dvě vybrané podposloupnosti mají různou limitu, limita celé posloupnosti neexistuje.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze