Dělení polynomu polynomem pomocí chytré nuly II.
Úloha číslo: 1479
Vydělte polynom \(P(x)=x^3+x^2-x\) polynomem \(Q(x)=x+2\)
Motivace
Dělení polynomu polynomem je algoritmus vedoucí k zjednodušení lomených polynomiálníchracionálních funkcí, obvykle využívaný v kombinaci s metodou rozkladu na parciální zlomky při integraci lomených racionálních funkcí.
Proces je obdobný jako při běžném dělení. Jeho výsledkem je obvykle polynom plus lomená polynomiální funkce s nižším stupněm polynomu v čitateli než před začátkem procesu (v podstatě analogie zbytku po dělení).
Nevýhodou dělení polynomu polenomem metodou, známou ze střední školy, je poměrně nepříjemná zdlouhavost celého procesu s možností snadno se dopustit chyby, zejména v případě polynomů vyšších stupňů.
V této úloze si ukážeme, jak mnohdy prosté přičtení chytré nuly, tedy vhodně zvoleného výrazu, jehož celková hodnota je nulová, může vést rychle ke kýženému výsledku.
Vše v rámci hesla: Matematik si svou práci co možná nejvíce zjednodušuje.
V této úloze si ukážeme složitější případ než ve výchozí úloze série Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly, kdy si stupně polynomů navzájem neodpovídají.
Vhodný zápis výrazu
Výraz zapište jako lomenou racionální funkci.
Chytrá nula
Polynom v čitateli zlomku vhodně upravte a rozšiřte pomocí chytré nuly.
Konečné dělení
Námi upravený zlomek nyní rozdělme na více zlomků tak, aby byl celkový výsledek dělení původních polynomů po následném krácení patrný na první pohled (ve formě polynom plus zbytek po dělení polynomů).
Řešení
\[\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{x^3+x^2-x}{x+2}=\]Našim cílem (obdobně jako v úloze Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly I.) bude upravit polynom v čitateli tak, aby obsahoval polynom ze jmenovatele (i vícekrát) a zároveň tak, abychom následným krácením došli k výsledku ve tvaru polynom plus zbytek po dělení polynomů. Polynom v čitateli je zde vyššího stupně než ve jmenovateli, proto bude pravděpodobně nutné rozšířit chytrou nulou vícekrát.
Začneme s úpravou vedoucího tj. kubického členu polynomu v čitateli zlomku.
Pro přehlednost si zmíněný člen vyznačme červenou závorkou.
\[=\frac{\color{red}{(}x^3\color{red}{)}+x^2-x}{x+2}\]Abychom v červené závorce získali stejný výraz jako je ve jmenovateli, musíme z ní nejprve vytknout \(x^2\) a poté do ní přidat chytrou nulu v podobě \((+2-2)\).
\[=\frac{x^2\color{red}{(}x+\color{blue}{2}-\color{green}{2}\color{red}{)}+x^2-x}{x+2}\]Z červené závorky nyní vyhodíme zelenou dvojku, modrou ponecháme, čímž obdržíme polynom ze jmenovatele.
\[=\frac{x^2\color{red}{(}x+2\color{red}{)}-2x^2+x^2-x}{x+2}\] \[=\frac{x^2\color{red}{(}x+2\color{red}{)}-x^2-x}{x+2}\]Je patrné, že ještě nejsme u konce, neboť členy v čitateli vně červenou závorku tvoří dohromady polynom stupně vyššího než ve jmenovateli. V úpravách proto musíme pokračovat.
Nyní se zaměříme na kvadratický člen čitatele, pro přehlednost jej uzavřeme do oranžové závorky.
\[=\frac{x^2\color{red}{(}x+2\color{red}{)}-x\color{orange}{(}x\color{orange}{)}-x}{x+2}\]Abychom v oranžové závorce získali stejný výraz jako je ve jmenovateli, musíme z ní nejprve vytknout \(x\) a poté do ní přidat chytrou nulu v podobě \((+2-2)\).
\[=\frac{x^2\color{red}{(}x+2\color{red}{)}-x\color{orange}{(}x+\color{blue}{2}-\color{green}{2}\color{orange}{)}-x}{x+2}\]Z oranžové závorky nyní vyhodíme zelenou dvojku, modrou ponecháme, čímž obdržíme polynom ze jmenovatele.
\[=\frac{x^2\color{red}{(}x+2\color{red}{)}-x\color{orange}{(}x+2\color{orange}{)}+2x-x}{x+2}\] \[=\frac{x^2\color{red}{(}x+2\color{red}{)}-x\color{orange}{(}x+2\color{orange}{)}+x}{x+2}\]Je opět vidět, že ještě nejsme u konce, neboť členy v čitateli vně červenou a oranžovou závorku tvoří dohromady polynom stupně stejného jako ve jmenovateli. V úpravách proto musíme pokračovat.
V poslední řadě se zaměříme na lineární člen čitatele, pro přehlednost jej uzavřeme do žluté závorky.
\[=\frac{x^2\color{red}{(}x+2\color{red}{)}-x\color{orange}{(}x+2\color{orange}{)}+\color{yellow}{(}x\color{yellow}{)}}{x+2}\]Žlutou závorku postačí rozšířit o chytrou nulu v podobě \((+2-2)\).
\[=\frac{x^2\color{red}{(}x+2\color{red}{)}-x\color{orange}{(}x+2\color{orange}{)}+\color{yellow}{(}x+\color{blue}{2}-\color{green}{2}\color{yellow}{)}}{x+2}\]Modrou dvojku ponecháme ve žluté závorce, zelenou vyhodíme ven.
\[=\frac{x^2\color{red}{(}x+2\color{red}{)}-x\color{orange}{(}x+2\color{orange}{)}+\color{yellow}{(}x+2\color{yellow}{)}-2}{x+2}\]Konečně jsme s úpravami hotovi. Členy čitatele neobsažené v žádně ze závorek totiž tvoří dohromady polynom stupně nižšího než je ten ve jmenovateli a tedy po vydělení zbytek v požadovaném tvaru.
Vydělíme-li člen obsahující červenou závorku výrazem ve jmenovateli, je zjevné, že jako výsledek obdržíme \(x^2\), pro člen s oranžovou závorkou pak \(-x\) a pro člen se žlutou závorkou nakonec číslo \(1\). Pro přehlednost uzavřeme modrou závorkou všechny sčítance vně zmíněné závorky.
\[=\frac{x^2\color{red}{(}x+2\color{red}{)}-x\color{orange}{(}x+2\color{orange}{)}+\color{yellow}{(}x+2\color{yellow}{)}-\color{blue}{(}2\color{blue}{)}}{x+2}\]Celý zlomek nyní roztrhneme na zlomky obsahující jednotlivé závorky. Je zjevné, že zpětným sečtením takto získaných zlomků opět obdržíme původní zlomek.
\[=\frac{x^2\color{red}{(}x+2\color{red}{)}}{x+2}-\frac{x\color{orange}{(}x+2\color{orange}{)}}{x+2}+\frac{\color{yellow}{(}x+2\color{yellow}{)}}{x+2}-\frac{\color{blue}{(}2\color{blue}{)}}{x+2}\]Co lze zkrátit, zkraťme. Získáme tak kýžený výsledek, v požadované formě, operace dělení původních polynomů.
\[=x^2-x+1-\frac{2}{x+2}\]Polynom stupně dva plus zbytek, tedy lomenou racionální funkci, kde polynom v čitateli má stupeň nižší než původní polynom v čitateli a zároveň nižší stupeň než polynom ve jmenovateli.
Výsledek
\[=x^2-x+1-\frac{2}{x+2}\]Několik slov na závěr
Jak již padlo v motivačních textech úloh ze série o dělení polynomů za pomocí chytré nuly, tuto metodu je nejlepší nasazovat v případě navzájem si korespondujících stupňů výchozích polynomů, v jiném případě její nasazení nevede nutně k zrychlení celého procesu a je čistě na úvaze řešitelově.
