Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Integrace lomené racionální funkce VII.

Úloha číslo: 1492

Určete

\[I=\int\frac{1}{x^4+3x^2+2}dx\]
  • Motivace

    Před sebou máme typického zástupce z řad integrálů lomených racionálních funkcí. Jak k těmto integrálůmm přistupovat? Existuje nějaký osvědčený početní postup?

    Odpověď je na snadě a osvědčený početní postup naservírovaný přímo na pomysleném zlatém podnosu.

    Postup

    Integrujeme-li výraz \(\frac{P_s(x)}{Q_r(x)}\), kde \(P_s(x), Q_r(x)\) jsou polynomi stupně \(s,r\) nad reálnými čísly, osvědčil se následující postup

    1. Pro stupně polynomů musí platit \(r>s\)(přijatelná je i rovnost mezi stupni), pokud toto neplatí, pak výraz za pomoci dělení polynomů nebo jiného postupu převádíme do požadovaného tvaru.

      Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly

      Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly I.

      Dělení polynomu polynomem pomocí chytré nuly II.

      Výsledek dost často bývá ve tvaru polynom plus zbytek po dělení polynomi (lomená racionální funkce splňující výše uvedenou podmínku pro stupně jednotlivých polynomů v čitateli a jmenovateli).

    2. Případným dělením vzniklý nebo, případně, původní výraz rozkládáme na parciální zlomky.

      Rozklad na parciální zlomky I.

      Rozklad na parciální zlomky II.

      Rozklad na parciální zlomky III.

      Rozklad na parciální zlomky IV.

      Pozor na ireducibilní polynomy! Pokud je nepoznáme na první pohled, pomůžeme si diskriminantem.

    3. Dílčí, rozkladem na parciální zlomky vzniklé, lomené racionální funkce v souladu s pravidly pro integrování integrujeme.

      Integrace lomené racionální funkce I.

      Integrace lomené racionální funkce II.

      Integrace lomené racionální funkce III.

      Integrace lomené racionální funkce IV.

      Zde často užívámme vhodné substituce, příležitostně i metody integrace Per Partes.

      Substituce

      Per partes

  • Dělení polynomů

    V souladu s motivačním textem úlohy upravte výraz do požadovaného tvaru.

  • Dělení polynomů - řešení

    Jelikož je stupeň polynomu ve jmenovateli zlomku 4 a stupeň polynomu v čitateli 0, je zjevně požadovaná podmínka pro stupně splněna, neboť platí

    \[4>0\]

    Krok s dělením tedy pro tento případ přeskakujeme.

  • Rozklad na parciální zlomky

    Lomený výraz rozložíme na parciální zlomky (viz motivace úlohy).

  • Integrace

    Za pomoci získaného rozkladu na parciální zlomky řešený integrál rozepište na soušet jednodušších integrálů. Následným vhodným užitím substituční metody dílčí integrály řešte.

  • Řešení

    Jelikož je stupeň polynomu ve jmenovateli zlomku 4 a stupeň polynomu v čitateli 0, je zjevně požadovaná podmínka pro stupně splněna, neboť platí

    \[4>0\]

    Krok s dělením tedy pro tento případ přeskakujeme.

    Dříve získaný rozklad nejprve lehce upravíme a obě strany rovnosti vynásobíme výrazem \((x^2+1)(x^2+2)\)

    \[\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2}\]

    získáme tak

    \[1=(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)\]

    závorky roznásobíme

    \[1=Ax^3+2Ax+Bx^2+2B+Cx^3+Cx+Dx^2+D\]

    a rovnici připravíme pro metodu porovnávání koeficientů

    \[1=x^3(A+C)+x^2(B+D)+x(2A+C)+(2B+D)\] \[\color{red}{0}x^3 + \color{blue}{0}x^2+\color{green}{0}x+\color{yellow}{1}x^0=\color{red}{(A+C)}x^3+\color{blue}{(B+D)}x^2+\color{green}{(2A+C)}x+\color{yellow}{(2B+D)}x^0\]

    Jak můžeme pozorovat, aby rovnost platila, musí platit následující čtyři podmínky

    \[0=A+C\] \[0=B+D\] \[0=2A+C\] \[1=2B+D\]

    Vzhledem k tomu, že se jedná o soustavu čtyř lineárních rovnic o čtyřech neznámých, můžeme řešení nalézt pomocí substituční nebo eliminační metody řešení soustav.

    Touto cestou získáme následující řešení

    \[A=C=0\] \[B=1\] \[D=-1\]

    a s tím spojený rozklad

    \[\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{-1}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+2}\]

    Kompletní postup s nápovědami obsahuje úloha Rozklad na parciální zlomky III.

    za užití získaného rozkladu na parciální zlomky a linearity integrálu

    \[\int\frac{1}{x^4+3x^2+2}dx=-\int\frac{1}{x^2+1}dx+\int\frac{1}{x^2+2}dx=\]

    V případě obou dílčích integrálů se jedná o integraci lomených polynomiálních výrazů s ireducibilním polynomem ve jmenovateli, problém proto budeme vhodnými úpravami převádět na konstanta krát \(\int\frac{1}{1+w^2}dw\)

    První z integrovaných výrazů je přímo tabulkový, nebudeme jej proto více upravovat a zintegrujeme jej jako

    \[\int\frac{1}{x^2+1}dx=\mathrm{arctg}\,{x}+c\]

    V případě druhého výrazu postačí ze jmenovatele vytknout 2 a následně zavést vhodnou substituci

    \[\int\frac{1}{x^2+2}dx=\int\frac{1}{2}\frac{1}{\frac{x^2}{2}+1}dx=\] \[=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\bigg(\frac{x}{\sqrt{2}}\bigg)^2+1}dx=\] \[y=\frac{x}{\sqrt{2}}\]

    Jelikož je \(y\) funkce proměnné \(x\) bude jí příslušná derivace dle proměnné \(x\) vypadat následovně

    \[dy=\frac{dx}{\sqrt{2}}\implies dx=\sqrt{2}dy\]

    Získané údaje dosadíme do příslušného integrálu, čímž získáme

    \[=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{1}{1+y^2}dy=\]

    následnou integrací pak

    \[=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{arctg}\,{(y)}+c\]

    po zpětné substituci pak obdržíme

    \[=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{arctg}\,{(\frac{x}{\sqrt{2}})}+c\]

    celkově tak získáváme výsledek

    \[I=-\mathrm{arctg}\,{x}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{arctg}\,{(\frac{x}{\sqrt{2}})}+c\]
  • Výsledek

    \[I=-\mathrm{arctg}\,{x}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{arctg}\,{(\frac{x}{\sqrt{2}})}+c\]
  • Další úloha v sérii

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze