Integrace lomené racionální funkce VIII.

Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Integrace lomené racionální funkce VIII.

Úloha číslo: 1493

Určete

\[I=\int\frac{2x^2-x+1}{x^3-x^2-x+1}dx\]

Motivace
Před sebou máme typického zástupce z řad integrálů lomených racionálních funkcí. Jak k těmto integrálůmm přistupovat? Existuje nějaký osvědčený početní postup?

Odpověď je na snadě a osvědčený početní postup naservírovaný přímo na pomysleném zlatém podnosu.

Postup

Integrujeme-li výraz \(\frac{P_s(x)}{Q_r(x)}\), kde \(P_s(x), Q_r(x)\) jsou polynomi stupně \(s,r\) nad reálnými čísly, osvědčil se následující postup
1. Pro stupně polynomů musí platit \(r>s\)(přijatelná je i rovnost mezi stupni), pokud toto neplatí, pak výraz za pomoci dělení polynomů nebo jiného postupu převádíme do požadovaného tvaru.
  
  Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly
  
  Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly I.
  
  Dělení polynomu polynomem pomocí chytré nuly II.
  
  Výsledek dost často bývá ve tvaru polynom plus zbytek po dělení polynomi (lomená racionální funkce splňující výše uvedenou podmínku pro stupně jednotlivých polynomů v čitateli a jmenovateli).
2. Případným dělením vzniklý nebo, případně, původní výraz rozkládáme na parciální zlomky.
  Rozklad na parciální zlomky I.
  
  Rozklad na parciální zlomky II.
  
  Rozklad na parciální zlomky III.
  
  Rozklad na parciální zlomky IV.
  
  Pozor na ireducibilní polynomy! Pokud je nepoznáme na první pohled, pomůžeme si diskriminantem.
3. Dílčí, rozkladem na parciální zlomky vzniklé, lomené racionální funkce v souladu s pravidly pro integrování integrujeme.
  Integrace lomené racionální funkce I.
  
  Integrace lomené racionální funkce II.
  
  Integrace lomené racionální funkce III.
  
  Integrace lomené racionální funkce IV.
  
  Zde často užívámme vhodné substituce, příležitostně i metody integrace Per Partes.
  
  Substituce
  
  Per partes
Dělení polynomů
V souladu s motivačním textem úlohy upravte výraz do požadovaného tvaru.
Dělení polynomů - řešení
Jelikož je stupeň polynomu ve jmenovateli zlomku 3 a stupeň polynomu v čitateli 2, je zjevně požadovaná podmínka pro stupně splněna, neboť platí
\[3>2\]
Krok s dělením tedy pro tento případ přeskakujeme.
Rozklad na parciální zlomky
Lomený výraz rozložíme na parciální zlomky (viz motivace úlohy).
Rozklad na parciální zlomky - řešení
Zkusmým ověřením pravidla dělitelnosti absolutního členu polynomu jeho celočíselným kořenem zjišťujeme, že číslo 1 je kořenem polynomu, neboť 1 dělí 1 a platí
\[1^3-1^2-1+1=1-1-1+1=0\]
Z této skutečnosti plyne, že z polynomu \(x^3-x^2-x+1\) můžeme vytknout výraz \((x-1)\).

Dělením polynomů zjistíme, co po vytknutí výrazu \((x-1)\) z polynomu zbude, přičemž můžeme polynomi prostě vydělit, jak jsme zvyklí ze střední školy nebo využít postupů osvojených z úloh Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly, Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly I. a Dělení polynomu polynomem pomocí chytré nuly II..
\[\frac{x^3-x^2-x+1}{x-1}=\frac{x^2(x+1-1)-x^2-x+1}{x-1}=\] \[=\frac{x^2(x-1)+x^2-x^2-x+1}{x-1}=\frac{x^2(x-1)-(x-1)}{x-1}=\] \[=\frac{x^2(x-1)}{x-1}-\frac{(x-1)}{x-1}=x^2-1\] \[x^3-x^2-x+1=(x-1)(x^2-1)\]
Pro rozklad výrazu \(x^2-1\) nakonec využijeme vzorce \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) a získáme tak
\[x^3-x^2-x+1=(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1)^2(x+1)\]
S Využitím získaného součinového tvaru, můžeme celý výraz přepsat jako
\[\frac{2x^2-x+1}{x^3-x^2-x+1}=\frac{2x^2-x+1}{(x-1)^2(x+1)}\]
Podržíme-li se teoretické základny z motivačního textu úlohy, bude návrh rozkladu výrazu na parciální zlomky vypadat následovně
\[\frac{2x^2-x+1}{(x-1)^2(x+1)}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x+1)}\]
Takto získaný obecný rozklad připravíme pro metodu porovnávání koeficientů přenásobením obou stran rovnosti výrazem \((x-1)^2(x+1)\) a získáme tak
\[2x^2-x+1=A(x^2-1)+B(x+1)+C(x-1)^2\]
závorky roznásobíme
\[2x^2-x+1=Ax^2-A + Bx+B+Cx^2-2Cx+C\] \[2x^2-x+1=(A+C)x^2+(B-2C)x+(-A+B+C)\]
aby rovnost platila musí platit následující tři podmínky

(polynomy se sobě rovnají, rovnají-li se sobě navzájem si korespondující koeficienty)
\[2=A+C\] \[-1=B-2C\] \[1=-A+B+C\]
Jedná se o soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých.

Z první rovnice získáváme
\[2-C=A\]
dosazením do druhé a třetí rovnice pak
\[-1=B-2C\] \[3=2C+B\]
následně pak sečtením takto vzniklých rovnic získáváme
\[2=2B\] \[B=1\]
zpětným dosazením \(B\) do druhé rovnice obdržíme
\[C=1\]
a konečně dosazením \(C\) do první
\[A=1\]
Řešením soustavy je tak trojice
\[A=B=C=1\]
čemuž odpovídá rozklad
\[\frac{2x^2-x+1}{(x-1)^2(x+1)}=\frac{1}{(x-1)}+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x+1)}\]
Kompletní postup s nápovědami obsahuje úloha Rozklad na parciální zlomky III.
Integrace
Za pomoci získaného rozkladu na parciální zlomky řešený integrál rozepište na soušet jednodušších integrálů. Následným vhodným užitím substituční metody dílčí integrály řešte.
Integrace - řešení
za užití získaného rozkladu na parciální zlomky
\[I=\int\frac{1}{(x-1)}dx+\int\frac{1}{(x+1)}dx+\int\frac{1}{(x-1)^2}dx=\]
První a druhý integrovaný výraz připomínají \(\frac{1}{w}\), proto v případě prvního výrazu substituujeme \(y=x-1\), v případě druhého pak \(z=x+1\). Třetí výraz připomíná \(\frac{1}{w^2}\), proto substitujeme opět \(y=x-1\).

Jelikož jsou \(y,z,t\) funkce proměnné \(x\) budou jim příslušné derivace dle proměnné \(x\) vypadat následovně
\[dy=dx\] \[dz=dx\]
Získané údaje dosadíme do příslušného integrálu, čímž získáme
\[I=\int\frac{1}{y}dy+\int\frac{1}{z}dz+\int\frac{1}{y^2}dt=\]
po integraci obdržíme
\[=\ln{|y|}+\ln{|z|}-\frac{1}{y}+c=\]
po zpětné substituci pak
\[=\ln{|x-1|}+\ln{|x+1|}-\frac{1}{x-1}+c=\]
a po konečné kosmetické úpravě nakonec
\[I=\ln{|{(x-1)}{(x+1)}|}-\frac{1}{x-1}+c\]
Řešení
Jelikož je stupeň polynomu ve jmenovateli zlomku 3 a stupeň polynomu v čitateli 2, je zjevně požadovaná podmínka pro stupně splněna, neboť platí
\[3>2\]
Krok s dělením tedy pro tento případ přeskakujeme.

Zkusmým ověřením pravidla dělitelnosti absolutního členu polynomu jeho celočíselným kořenem zjišťujeme, že číslo 1 je kořenem polynomu, neboť 1 dělí 1 a platí
\[1^3-1^2-1+1=1-1-1+1=0\]
Z této skutečnosti plyne, že z polynomu \(x^3-x^2-x+1\) můžeme vytknout výraz \((x-1)\).

Dělením polynomů zjistíme, co po vytknutí výrazu \((x-1)\) z polynomu zbude, přičemž můžeme polynomi prostě vydělit, jak jsme zvyklí ze střední školy nebo využít postupů osvojených z úloh Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly, Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly I. a Dělení polynomu polynomem pomocí chytré nuly II..
\[\frac{x^3-x^2-x+1}{x-1}=\frac{x^2(x+1-1)-x^2-x+1}{x-1}=\] \[=\frac{x^2(x-1)+x^2-x^2-x+1}{x-1}=\frac{x^2(x-1)-(x-1)}{x-1}=\] \[=\frac{x^2(x-1)}{x-1}-\frac{(x-1)}{x-1}=x^2-1\] \[x^3-x^2-x+1=(x-1)(x^2-1)\]
Pro rozklad výrazu \(x^2-1\) nakonec využijeme vzorce \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) a získáme tak
\[x^3-x^2-x+1=(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1)^2(x+1)\]
S Využitím získaného součinového tvaru, můžeme celý výraz přepsat jako
\[\frac{2x^2-x+1}{x^3-x^2-x+1}=\frac{2x^2-x+1}{(x-1)^2(x+1)}\]
Zkusmým ověřením pravidla dělitelnosti absolutního členu polynomu jeho celočíselným kořenem zjišťujeme, že číslo 1 je kořenem polynomu, neboť 1 dělí 1 a platí
\[1^3-1^2-1+1=1-1-1+1=0\]
Z této skutečnosti plyne, že z polynomu \(x^3-x^2-x+1\) můžeme vytknout výraz \((x-1)\).

Dělením polynomů zjistíme, co po vytknutí výrazu \((x-1)\) z polynomu zbude, přičemž můžeme polynomi prostě vydělit, jak jsme zvyklí ze střední školy nebo využít postupů osvojených z úloh Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly, Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly I. a Dělení polynomu polynomem pomocí chytré nuly II..
\[\frac{x^3-x^2-x+1}{x-1}=\frac{x^2(x+1-1)-x^2-x+1}{x-1}=\] \[=\frac{x^2(x-1)+x^2-x^2-x+1}{x-1}=\frac{x^2(x-1)-(x-1)}{x-1}=\] \[=\frac{x^2(x-1)}{x-1}-\frac{(x-1)}{x-1}=x^2-1\] \[x^3-x^2-x+1=(x-1)(x^2-1)\]
Pro rozklad výrazu \(x^2-1\) nakonec využijeme vzorce \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) a získáme tak
\[x^3-x^2-x+1=(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1)^2(x+1)\]
S Využitím získaného součinového tvaru, můžeme celý výraz přepsat jako
\[\frac{2x^2-x+1}{x^3-x^2-x+1}=\frac{2x^2-x+1}{(x-1)^2(x+1)}\]
Podržíme-li se teoretické základny z motivačního textu úlohy, bude návrh rozkladu výrazu na parciální zlomky vypadat následovně
\[\frac{2x^2-x+1}{(x-1)^2(x+1)}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x+1)}\]
Takto získaný obecný rozklad připravíme pro metodu porovnávání koeficientů přenásobením obou stran rovnosti výrazem \((x-1)^2(x+1)\) a získáme tak
\[2x^2-x+1=A(x^2-1)+B(x+1)+C(x-1)^2\]
závorky roznásobíme
\[2x^2-x+1=Ax^2-A + Bx+B+Cx^2-2Cx+C\] \[2x^2-x+1=(A+C)x^2+(B-2C)x+(-A+B+C)\]
aby rovnost platila musí platit následující tři podmínky

(polynomy se sobě rovnají, rovnají-li se sobě navzájem si korespondující koeficienty)
\[2=A+C\] \[-1=B-2C\] \[1=-A+B+C\]
Jedná se o soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých.

Z první rovnice získáváme
\[2-C=A\]
dosazením do druhé a třetí rovnice pak
\[-1=B-2C\] \[3=2C+B\]
následně pak sečtením takto vzniklých rovnic získáváme
\[2=2B\] \[B=1\]
zpětným dosazením \(B\) do druhé rovnice obdržíme
\[C=1\]
a konečně dosazením \(C\) do první
\[A=1\]
Řešením soustavy je tak trojice
\[A=B=C=1\]
čemuž odpovídá rozklad
\[\frac{2x^2-x+1}{(x-1)^2(x+1)}=\frac{1}{(x-1)}+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x+1)}\]
Kompletní postup s nápovědami obsahuje úloha Rozklad na parciální zlomky III.

za užití získaného rozkladu na parciální zlomky a linearity integrálu tak můžeme
\[I=\int\frac{1}{(x-1)}dx+\int\frac{1}{(x+1)}dx+\int\frac{1}{(x-1)^2}dx=\]
První a druhý integrovaný výraz připomínají \(\frac{1}{w}\), proto v případě prvního výrazu substituujeme \(y=x-1\), v případě druhého pak \(z=x+1\). Třetí výraz připomíná \(\frac{1}{w^2}\), proto substitujeme opět \(y=x-1\).

Jelikož jsou \(y,z,t\) funkce proměnné \(x\) budou jim příslušné derivace dle proměnné \(x\) vypadat následovně
\[dy=dx\] \[dz=dx\]
Získané údaje dosadíme do příslušného integrálu, čímž získáme
\[I=\int\frac{1}{y}dy+\int\frac{1}{z}dz+\int\frac{1}{y^2}dt=\]
po integraci obdržíme
\[=\ln{|y|}+\ln{|z|}-\frac{1}{y}+c=\]
po zpětné substituci pak
\[=\ln{|x-1|}+\ln{|x+1|}-\frac{1}{x-1}+c=\]
a po konečné kosmetické úpravě nakonec
\[I=\ln{|{(x-1)}{(x+1)}|}-\frac{1}{x-1}+c\]
Výsledek
\[I=\ln{|{(x-1)}{(x+1)}|}-\frac{1}{x-1}+c\]
Další úloha v sérii
Integrace lomené racionální funkce IX.

Integrace lomené racionální funkce VIII.

Úloha číslo: 1493

Motivace

Dělení polynomů

Dělení polynomů - řešení

Rozklad na parciální zlomky

Rozklad na parciální zlomky - řešení

Integrace

Integrace - řešení

Řešení

Výsledek

Další úloha v sérii