Nekonečné součty a jak na ně - Odvození obecného vzorce
Úloha číslo: 1175
Odvoďte, že platí rovnost
\[1^d + 2^d + \ldots + n^d = \frac{1}{d+1}\left( (n+1)^{d+1 }-1-n-\sum_{x=1}^{n} \sum_{r=1}^{d-1}\dbinom{d+1}{r}x^r \right)\]jestliže d je přirozené číslo větší než 1.
Nápověda - užité vztahy
Binomická věta:
\[(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}a^k b^{n-k}\tag{B}\]Nápověda 1.
Upravte výraz \(S_{d+1}(n+1)\) tak, abyste jej mohli sečíst dle binomické věty (B).
Nápověda 2.
Výraz \(1+\sum_{x=1}^{n} (x+1)^{d+1}=1+\sum_{x=1}^{n} \sum_{r=0}^{d+1}\dbinom{d+1}{r}x^r\) rozepište tak, abyste z něj mohli vyčíst vzorec pro \(S_d(n)\).
Kompletní řešení
Upravte výraz \(S_{d+1}(n+1)\) tak, abyste jej mohli sečíst dle binomické věty (B).
Binomická věta:
\[(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}a^k b^{n-k}\tag{B}\]Výrazu \(S_{d+1}(n+1)\) rozepište jako výraz pro součet prvních n členů a posledního členu: \[S_{d+1}(n+1)=S_{d+1}(n)+(n+1)^{d+1}\] zbylý výraz pro prvních n členů přepište dle úvodního vztahu \(S_d(n)=\sum_{x=1}^n x^d\): \[S_{d+1}(n+1)=S_{d+1}(n)+(n+1)^{d+1}=\sum_{x=1}^n x^{d+1}+(n+1)^{d+1}=\] ze sumy \(\sum_{x=1}^n x^{d+1}\) odečtěte první člen pro \((x=1)\): \[=\sum_{x=1}^n x^{d+1}+(n+1)^{d+1}=1^{d+1}+\sum_{x=2}^n x^{d+1}+(n+1)^{d+1}=\] sumu vhodně přeindexujeme \(x:=y+1\): \[=1+\sum_{y=1}^{n-1} (y+1)^{d+1} + (n+1)^{d+1} =\] přeznačíme pro přehlednost z y zpět na x a k sumě přičteme výraz \((n+1)^{d+1}\): \[=1+\sum_{x=1}^{n-1} (x+1)^{d+1} + (n+1)^{d+1} =1+\sum_{x=1}^{n} (x+1)^{d+1}\] a tento výraz uvnitř sumy \((x+1)^{d+1}\) jsme již schopni pomocí Binomické věty rozvinout.
Nyní rozvineme \(1+\sum_{x=1}^{n} (x+1)^{d+1}\) dle Binomické věty (B) jako:
\[1+\sum_{x=1}^{n} (x+1)^{d+1}=1+\sum_{x=1}^{n} \sum_{r=0}^{d+1}\dbinom{d+1}{r}x^r\]Nyní rozvineme \(1+\sum_{x=1}^{n} (x+1)^{d+1}\) dle Binomické věty (B) jako:
\[1+\sum_{x=1}^{n} (x+1)^{d+1}=1+\sum_{x=1}^{n} \sum_{r=0}^{d+1}\dbinom{d+1}{r}x^r\]Víme:
\[S_{d+1}(n+1)=1+\sum_{x=1}^{n} (x+1)^{d+1}=1+\sum_{x=1}^{n} \sum_{r=0}^{d+1}\dbinom{d+1}{r}x^r\tag{1}\] \[S_{d+1}(n+1)=S_{d+1}(n)+(n+1)^{d+1}\tag{2}\]Pravou stranu rovnosti (1) vhodně upravme tím, že ze sumy \(\sum_{x=1}^{n} \sum_{r=0}^{d+1}\dbinom{d+1}{r}x^r\) vytkneme první (\(r=0\)), poslední (\(r=d+1\)) a předposlední člen (\(r=d\)):
\[S_{d+1}(n+1)=1+ \sum_{x=1}^{n} \left( \sum_{r=1}^{d-1}\dbinom{d+1}{r}x^r +1 +(d+1)x^d +x^{d+1} \right)\tag{1}\]rovnost (1) budeme dále upravovat a sumu \(\sum_{x=1}^{n}\) dále rozepíšeme jako:
\[S_{d+1}(n+1)=1+ \sum_{x=1}^{n} \sum_{r=1}^{d-1}\dbinom{d+1}{r}x^r +n +(d+1)S_d(n)+S_{d+1}(n)\tag{1}\]Za levou stranu rovnosti (1) dosadíme pravou stranu rovnosti (2) a výslednou rovnost upravíme:
\[S_{d+1}(n)+(n+1)^{d+1}=1+ \sum_{x=1}^{n} \sum_{r=1}^{d-1}\dbinom{d+1}{r}x^r +n +(d+1)S_d(n)+S_{d+1}(n)\] \[S_d(n)=\frac{1}{d+1}\left( (n+1)^{d+1 }-1-n-\sum_{x=1}^{n} \sum_{r=1}^{d-1}\dbinom{d+1}{r}x^r \right)\]Komentář
Označíme-li
\[S_d(n)=\sum_{x=1}^n x^d = 1^d + 2^d + \ldots + n^d,\]potom lze dokazovanou rovnost v zadání úlohy po prohození sum psát jako
\[S_d(n) = \frac{1}{d+1}\left((n+1)^{d+1}-1-n-\sum_{r=1}^{d-1}\dbinom{d+1}{r}\,S_r(n)\right).\]Tato úloha tedy ukazuje metodu pro odvození součtů řad typu
\[S_d(n)=\sum_{x=1}^n x^d = 1^d + 2^d + \ldots + n^d\]na základě rekurentního vztahu, je-li d je přirozené číslo.
Například, je-li d = 2, pak z výsledného vztahu lze odvodit, že
\[1+2+\ldots+n = \frac{1}{3}\left((n+1)^{2+1}-1-n-\sum_{x=1}^n \sum_{r=1}^{1} \dbinom{3}{r}x^r\right) = \] \[ = \frac{1}{3}\left((n+1)^{3}-1-n-\sum_{x=1}^n \dbinom{3}{1}x\right) = \] \[ = \frac{1}{3}\left((n+1)^{3}-1-n-\sum_{x=1}^n 3x \right)= \] \[ = \frac{1}{3}\left((n+1)^{3}-1-n-3\sum_{x=1}^n x \right)= \]s využitím vztahu \(\sum_{x=1}^n x = 1+2+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}\)
\[ = \frac{1}{3}\left((n+1)^{3}-1-n-3\frac{n(n+1)}{2}\right) = \] \[ = \frac{1}{3}\left(n^3+3n^2+3n+1-1-n-3\frac{n(n+1)}{2}\right) = \] \[ = \frac{1}{3}\cdot\frac{2n^3+6n^2+4n-3n^2-3n}{2} = \] \[ = \frac{2n^3+3n^2+n}{6} = \frac{(2n+1)n(n+1)}{6}. \]
